第2章 创新拓展系列(三) 嵌套零点问题（word教参）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　创新拓展系列(三)·嵌套零点问题　 　　　　　　　　　　 嵌套函数和一些复杂的分段函数求零点是一种常考题型．在解关于x的方程g[f(x)]＝0根(或根的个数)时，要分两层来分析，第一层是解关于g(t)＝0的方程，第二层是解f(x)＝t的方程，将x的个数汇总后即为g[f(x)]＝0根的个数．综合考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养． [典例](2022·山东聊城模拟)已知1<a<，f(x)＝则方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．因为4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0， 所以[2f(x)－1][2f(x)－a]＝0， 所以f(x)＝或f(x)＝，画出f(x)的大致图象，如图， 因为>，所以<<<， 因为直线y＝与函数y＝f(x)的图象有1个交点， 直线y＝与函数y＝f(x)的图象有2个交点， 故方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是3. 【思维升华】　求嵌套函数y＝g[f(x)]零点的技巧 (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题时一般要先作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象． (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g[f(x)]＝0中f(x)解的个数，再根据f(x)解的个数与f(x)的图象的特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而确定参数的范围． 【创新集训】 已知函数f(x)＝若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋的零点个数为4，则实数a的取值范围为(　　) A．∪ B． C．∪ D． 解析：选D．f(x)的图象如图所示． 令f(x)＝t，因为F(x)＝f2(x)－2af(x)＋有4个不同的零点，故t2－2at＋＝0有解，设为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝.由题设可得关于x的方程f(x)＝t1和f(x)＝t2共有4个不同的解，故(舍去)，或或(舍去).所以解得a>. [课下巩固检测卷(十一)] ________________________________________________________________________ A－基础巩固题组 1．(2023·河南焦作一模)设函数f(x)＝2x＋的零点为x0，则x0∈(　　) A．(－4，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，4) 解析：选B．易知f(x)在R上单调递增且连续，因为f(－4)＝－<0，f(－2)＝－<0，f(－1)＝－>0，所以x0∈(－2，－1).故选B． 2．已知a是函数f(x)＝ln x＋x2－2的零点，则ea－1＋a－5的值为(　　) A．正数 B．0 C．负数 D．无法判断 解析：选C．因为f(x)＝ln x＋x2－2在(0，＋∞)上单调递增，有f(1)<0，f(2)>0，所以a∈(1，2).又因为g(x)＝ex－1＋x－5在(1，2)上单调递增，且g(2)＝e＋2－5<0，故ea－1＋a－5<0.故选C． 3．函数f(x)＝()x的图象与函数g(x)＝2－ln x的图象交点横坐标所在的区间可能为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选B．函数f(x)＝()x的图象与函数g(x)＝2－ln x的图象交点横坐标即为函数h(x)＝f(x)－g(x)＝()x＋ln x－2(x>0)的零点，因为h′(x)＝()x＋>0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又图象连续，且h(1)＝()1＋ln 1－2＝()－2<0，h(2)＝()2＋ln 2－2＝e＋ln 2－2>0，所以h(1)·h(2)<0，所以h(x)的零点所在的区间为(1，2).所以函数f(x)＝()x的图象与函数g(x)＝2－ln x的图象交点横坐标所在的区间为(1，2)，故选B． 4．函数y＝f(x)的周期为4，当x∈(－2，2]时，f(x)＝x2－1，则f(x)在[0，2 020]上零点的个数为(　　) A．1 009 B．1 010 C．2 019 D．2 020 解析：选B．f(x)是以4为周期的周期函数，当x∈(－2，2]时，f(x)＝x2－1，∴当x＝1或x＝－1时，f(x)＝0，∴f(x)在每个周期内有两个零点，作出f(x)在(－2，2]上的图象，如图所示． 由图象可知，在y轴的右侧，每隔2个单位长度就有一个零点，∴f(x)在[0，2 020]上有1 010个零点．故选B． 5．已知函数f(x)＝若x1<x2<x3<x4，且f(x1