选修4-5 第2节 不等式的证明（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 选修4－5　　 不等式选讲 第2节　不等式的证明　 a－b>0 a－b>0 a－b<0 执果索因 由因导果 不正确 不成立 [课标要求]　1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法；　 2.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．证明不等式的基本方法 (1)比较法 ①作差比较法：已知a>b⇔_______________，a<b⇔_______________，因此 要证明a>b，只要证明_______________即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法 由a>b>0⇔ eq \f(a,b) >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证 明_________即可，这种方法称为作商比较法． eq \f(a,b) >1 (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推 导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即 “____________”的方法． (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归 结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成 立，这种证明方法叫做分析法，即“____________”的方法． (4)反证法 先假设要证的命题_________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、 定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定 理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设_________，从而 证明原命题成立． (5)放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式， 从而达到证明的目的． 2．柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式： 定理1　若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅 当ad＝bc时，等号成立． (2)柯西不等式的向量形式： 定理2　设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存 在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 3．二维形式的三角不等式 定理3　设x1，y1，x2，y2∈R，那么eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ) ＋eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ) ≥ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2) . 4．一般形式的柯西不等式 定理　设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋… ＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) )(b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋…＋b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) )≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1， 2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立． [必记结论] 1. eq \r(k＋1) － eq \r(k) ＝ eq \f(1,\r(k＋1)＋\r(k)) < eq \f(1,2\r(k)) ； 2. eq \f(1,k2) < eq \f(1,k（k－1）) ＝ eq \f(1,k－1) － eq \f(1,k) ， eq \f(1,k2) > eq \f(1,k（k＋1）) ＝ eq \f(1,k) － eq \f(1,k＋1) ； 3. eq \f(1,k2) < eq \f(1,k2－1) ＝ eq \f(1,（k－1）（k＋1）) ＝ eq \f(1,2) ( eq \f(1,k－1) － eq \f(1,k＋1) ). 【小题热身】 1．利用反证法证明：若 eq \r(x) ＋ eq \r(y) ＝0，则x＝y＝0，假设为(　　) A．x，y都不为0 B．x，y不都为0 C．x，y都不为0，且x≠y D．x，y至少有一个为0 解析： “x＝y＝0”的否定为“x≠0或y≠0”，即为x，y不都为0. 答案：B 2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图： 在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是(　　) A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法 C