选修4-4 第1节 坐标系（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 选修4－4　　 坐标系与参数方程 第1节　坐标系　 极角 极径 ρcos θ ρsin θ ρ＝r(0≤θ<2π) 续表 ρsin θ＝a(0<θ<π) [课标要求]　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；　2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；　3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·x（λ>0），,y′＝μ·y（μ>0）)) 的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平 面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定 一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这 样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极 轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从 射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对 (ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的______，θ称为点M的______．一 般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就 与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中， 极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝________，,y＝________)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ρ2＝________，,tan θ＝___________．)) 这就是极坐标与直角坐标的互化公式． x2＋y2 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ______________ 圆心为(r，0)，半径为r的圆 _________________________ 圆心为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2))) ，半径为r的圆 _________________________ 3．常见曲线的极坐标方程 ρ＝2r cos θ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ<\f(π,2))) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 曲线 极坐标方程 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 _________________________ 过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2))) ，与极轴平行的直线 _________________________ ρcos θ＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2))) [必记结论] 1．明确两个坐标： 伸缩变换关系式 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝λx（λ>0），,y′＝μy（μ>0），)) 点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原来的曲线方程，点(x′，y′)的坐标满足变换后的曲线方程． 2．把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便准确地求出角θ.利用两种坐标的互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． 【小题热身】 1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))) C．(1，0) D．(1，π) 解析：法一　由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1， 圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2))) . 法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2))) ，知圆心的极坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4