第5章 创新拓展系列(七) 奔驰定理（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 第五章　平面向量、复数 创新拓展系列(七)•奔驰定理 奔驰定理：如图所示，已知P是三角形ABC内任意一点，则S△PBC eq \o(PA,\s\up16(→)) ＋ S△PCA eq \o(PB,\s\up16(→)) ＋S△PAB eq \o(PC,\s\up16(→)) ＝0. 推论：已知P是三角形ABC内任意一点，且x eq \o(PA,\s\up16(→)) ＋y eq \o(PB,\s\up16(→)) ＋z eq \o(PC,\s\up16(→)) ＝0，则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝x∶y∶z. [典例] 点P是△ABC内一点，且 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→)) ，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是(　　) A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．1∶2 [思维点拨]　作出图形，根据 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→)) 可得 eq \f(PQ,CQ) ＝ eq \f(NA,CA) ＝ eq \f(1,4) ，进而得 eq \f(S△ABP,S△ABC) ＝ eq \f(PQ,CQ) ＝ eq \f(1,4) 或直接根据奔驰定理的推论，得到S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝5∶4∶3，进而得出△ABP的面积与△ABC的面积之比． 解析：法一(常规解法)　如图所示，连接CP并延长，交AB于Q，取AB靠近A的三等分点M，取AC靠近A的四等分点N，连接PM，PN. 因为 eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→)) ，所以四边形AMPN为平行四边形，PN∥AQ，所以 eq \f(PQ,CQ) ＝ eq \f(NA,CA) ＝ eq \f(1,4) . 分别过点P，C作AB的垂线，垂足分别为E，F，则 eq \f(PE,CF) ＝ eq \f(PQ,CQ) ，所以△ABP的面积与△ABC的面积之比为 eq \f(PQ,CQ) ＝ eq \f(1,4) .故选C． 法二(结论解法)　连接PC， eq \o(AP,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→)) ＝ eq \f(1,3) ( eq \o(PB,\s\up16(→)) － eq \o(PA,\s\up16(→)) )＋ eq \f(1,4) ( eq \o(PC,\s\up16(→)) － eq \o(PA,\s\up16(→)) )＝ eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(PC,\s\up16(→)) － eq \f(7,12) eq \o(PA,\s\up16(→)) ，即 eq \f(5,12) eq \o(PA,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(PB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \o(PC,\s\up16(→)) ＝0， 利用奔驰定理的推理得S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝ eq \f(5,12) ∶ eq \f(1,3) ∶ eq \f(1,4) ＝5∶4∶3，所以 eq \f(S△ABP,S△ABC) ＝ eq \f(3,5＋4＋3) ＝ eq \f(1,4) .故选C． 答案：C 【创新集训】 已知△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点G是△ABC的重心，且 eq \f(a,5) eq \o(GA,\s\up16(→)) ＋ eq \f(b,7) eq \o(GB,\s\up16(→)) ＋ eq \f(c,8) eq \o(GC,\s\up16(→)) ＝0，则∠ABC的大小是_________________________． 解析：(结论解法)由点G是△ABC的重心，可得 eq \o(GA,\s\up16(→)) ＋ eq \o(GB,\s\up16(→)) ＋ eq \o(GC,\s\up16(→)) ＝0， 由奔驰定理的推论及 eq \f(a,5) eq \o(GA,\s\up16(→)) ＋ eq \f(b,7) eq