第4章 第7节 解三角形的实际应用（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 第四章　三角函数、解三角形 第7节　解三角形的实际应用 续表 续表 [课标要求]　会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．　 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 术语名称 术语意义 图形表示 坡角与 坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝ eq \f(h,l) ＝tan θ 【小题热身】 1．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．20 eq \r(2) m B．30 eq \r(2) m C．40 eq \r(2) m D．50 eq \r(2) m 解析：由三角形内角和定理可知， ∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得： eq \f(AB,sin ∠ACB) ＝ eq \f(BC,sin ∠BAC) ⇒ eq \f(AB,\f(\r(2),2)) ＝ eq \f(50,\f(1,2)) ⇒AB＝50 eq \r(2) m，故选D． 答案：D 2．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为________ m. 解析：如图所示，依题意有∠ACE＝30°， ∠ECB＝45°，DB＝30，所以CE＝30，BE＝30， 由 eq \f(AE,sin 30°) ＝ eq \f(CE,sin 60°) ，得AE＝10 eq \r(3) ， 所以AB＝(30＋10 eq \r(3) )m. 答案：30＋10 eq \r(3) 3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________ km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝ eq \r(6) －1. 答案： eq \r(6) －1 4．如图，某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°， AE＝ eq \f(AB,cos 15°) ，所以由正弦定理得AD＝ eq \f(AE sin 45°,sin 30°) ＝ eq \r(2) AE＝ eq \f(\r(2)AB,cos 15°) ， 因此CD＝AD sin 60°＝ eq \f(\r(2)×10,cos （45°－30°）) ×sin 60°＝10(3－ eq \r(3) )m. 答案：10(3－ eq \r(3) ) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　测量距离问题 【典例引领】 [例1] 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________． 解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝ eq \f(80sin 150°,sin 15°) ＝ eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4)) ＝40( eq \r(6) ＋ eq \r(2) ). 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， 所以∠DBC＝30°， 由正弦定理 eq \f(CD,sin ∠CBD) ＝ eq \f(BC,sin ∠BDC) ， 得BC＝ eq \f(C