第3章 第2节 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 第三章　导数及其应用 第2节　导数的应用 第2课时　利用导数研究函数的 极值、最值 f(a) f(b) f(a) f(b) f(b) 极值 f(a) [课标要求]　1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；　2.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题). 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，_______为函 数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则_______为函数的最大值， ______为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和 最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的______； ②将f(x)的各极值与______，______进行比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值． [必记结论] 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　) (2)函数的极大值比极小值大．(　　) (3)“f′(x0)＝0”是“x0为可导函数y＝f(x)的极值点”的充分不必要条件．(　　) (4)函数的最大值不一定是极大值，极大值也并不一定是最大值．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正． 答案：A 3．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为________． 解析：f′(x)＝ eq \f(1,x) －1，令f′(x)＝0得x＝1. 当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0. ∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＝－1. 答案：－1 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋ eq \f(b,x) 取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D．1 解析：因为函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，＋∞)) ，所以依题可知，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)) ＝－2，f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1)) ＝0，而f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \f(a,x) － eq \f(b,x2) ，所以b＝－2，a－b＝0，即a＝－2，b＝－2，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝－ eq \f(2,x) ＋ eq \f(2,x2) ，因此函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1)) 上递增，在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)) 上递减，x＝1时取最大值，满足题意，即有f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2)) ＝－1＋ eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,2) . 答案：B 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2<x2，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2<x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2<0，解得2<a<6. 答案：(2，6) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　利用导数求函数极值问题 【典例引领】 　根据图象判断函数极值 [例1] 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(2) B．函数f(x)有极大值f(－2) C．函数f(x)有极小值f(－2) D．函数f(x)有极小值f(1) 解析：由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；