第2章 创新拓展系列(二) 与二次函数有关的能成立和恒成立问题（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考文科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（文） 第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ 创新拓展系列(二)•与二次函数有 关的能成立和恒成立问题 二次函数中的能成立和恒成立问题是常见的题型，解决此类问题关键是利用数形结合及单调性，求出函数的最值，再根据条件求解．考查数学运算和逻辑推理素养． 【典例】　已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数． (1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围； (2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围； (3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围． [思维点拨]　(1)构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)max≤0求解； (2) 构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，根据h(x)min≤0求解； (3)根据题意，根据f(x)max≤g(x)min求解． 解：(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86. (2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10. (3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3].由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118. 【思维升华】　1.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 2．ax2＋bx＋c＜0(a＞0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＜0，,f（n）＜0.)) ax2＋bx＋c＞0(a＜0)在区间[m，n]上恒成立的条件．设f(x)＝ax2＋bx＋c，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）>0.)) 【创新集训】 1．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　 ) A．(－∞，0] B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,7))) C．(－∞，0)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,7))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,7))) 解析：由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1，3]恒成立，即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1，3]恒成立． ∵当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m< eq \f(5,x2－x＋1) .∵当x＝3时， eq \f(5,x2－x＋1) 取最小值 eq \f(5,7) ，∴若要不等式m< eq \f(5,x2－x＋1) 对于x∈[1，3]恒成立，则必须满足m< eq \f(5,7) ，因此，实数m的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,7))) ，故选D． 答案：D 2．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________． 解析：作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＜0，,f（m＋1）＜0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m2－1＜0，,（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，)) 解得－ eq \f(\r(2),2) ＜m＜0. 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)) $