第3章 第3节 定积分与微积分基本定理（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第3节 定积分与微积分基本定理　► 对应学生用书P064 [课标要求]　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；　2.了解微积分基本定理的含义． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．逼近思想求曲边梯形面积的步骤 具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2．定积分的概念 在dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． 3．定积分的性质 4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即dx＝F(x)＝F(b)－F(a). 5．定积分的几何意义 定积分dx的几何意义是介于x轴，曲线y＝f(x)及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负．具体来说，如图，设阴影部分的面积为S. [必记结论] 1．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程． 2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f(x)为偶函数，则dx＝2dx. (2)若f(x)为奇函数，则dx＝0. 【小题热身】 1. xdx的值等于(　　) A．e2　　　　　　　　　　 B．e－e2 C．e2－e D．(e2－e) 解析：选C．xdx＝ex＝e2－e. 2．已知t是常数，若dx＝8，则t＝(　　) A．1 B．－2 C．－2或4 D．4 解析：选D．由dx＝8，得(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去). 3.dx＝(　　) A．π B． C． D．0 解析：选A．由定积分的几何意义可知，所求的定积分是以原点为圆心、2为半径的圆在第一象限的面积，即dx＝×π×22＝π. 4．如图所示，由函数f(x)＝ex－e的图象，直线x＝2及x轴所围成阴影部分的面积等于(　　) A．e2－2e－1 B．e2－2e C． D．e2－2e＋1 解析：选B．f(x)＝ex－e＝0时，x＝1，∴S＝ dx＝(ex－ex)＝e2－2e. 5．已知曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为S，则S＝________． 解析：由得交点A(1，1)； 由得交点B(3，－1). 答案： 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　定积分的计算 【考点集训】 1. dx＝________． 解析：dx＝(x2－ln x)＝－ln 2. 答案：－ln 2 2．若f(x)＝，则dx为________． 解析：由y＝＝，得(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x轴及其上方的部分，所以dx是圆面积的.所以 dx＝·π·22＝π. 答案：π 3．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则dx的值为________． 解析：因为f(x)＝因为′＝x2，(ln x)′＝， 所以dx＝dx＋dx＝＋1＝. 答案： 4．(2022·吉林长春期末) dx＝______. 解析：∵f(x)＝x2tan x＋x3是奇函数， ∴dx＝0＋dx＝x＝2. 答案：2 考点2　定积分在求平面图形面积中的应用 【典例引领】 [例1] (一题多法)求由曲线y＝x2和直线y＝x和y＝2x围成的图形的面积． 解析：法一　如图(1)所示，所求的面积S＝S△AOC＋S1，其中S1是线段AC，BC和抛物线段AB围成的区域的面积． 由和分别解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1，2. 因为′＝x，′＝2x－x2，故所求的面积 S＝dx＋dx＝＋(x2－) ＝－0＋－(1－)＝. 法二　如图(1)所示，所求的面积可以写成S＝S△OBD－S2， 其中S2是由线段BD，AD及抛物线段AB所围成的区域的面积．由于D的横坐标也是2，又′＝x，′＝x2－x.故S＝dx－dx＝－＝2－＋＝. 法三　如图(2)，把整个区域上定积分问题，转化成y是自变量的情况． 由法一知O，A，B三点的纵坐标分别是0，1，4， 故所求的面积S＝S△AEO＋S3， 其中S3是两线段BE，AE和抛物线段AB围成的区域的面积． 因为′＝，′＝－， 故S＝dy＋dy ＝y2＋＝. 答案： 【思维升华】　求曲边图形面积的4个步骤 (1)根据题意画出图形； (2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标