第3章 第2节 第1课时 利用导数研究函数的单调性（word教参）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

第2节 导数的应用　　► 对应学生用书P043 第1课时　利用导数研究函数的单调性 [课标要求]　1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；　2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．函数的单调性 如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，若f′(x0)＝0. ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求函数极值点的步骤 ①求出导数f′(x). ②解方程f′(x)＝0． ③对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： 若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； 若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； 若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． [必记结论] 1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立． 2.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 3．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若函数f(x)在定义域上都有 f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减．(　　) (2)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　　) (3)在某区间上f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．(　　) (4)在(a，b)上f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)上单调递减．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析：选D．由题图可知当x>0时，f′(x)>0，当x<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D．因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－. 因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1. 4．函数f(x)＝的单调递增区间为__________________；单调递减区间为____________． 解析：函数的定义域为{x|x≠0}，且f′(x)＝，令f′(x)>0得x>1，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，令f′(x)<0，得x<1且x≠0，f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，1). 答案：(1，＋∞)　(－∞，0)和(0，1) 　备考第2步——突破核心考点，提升关键能力 考点1　不含参数的单调性 【考点集训】 1．函数y＝x cos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　) A． B．(π，2π) C． D．(2π，3π) 解析：选B．y′＝－x sin x，经验证，只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝x cos x－sin x在(π，2π)上单调递增． 2．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：选D．因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选D．