专题04 导数及其应用（解答题）（理）-学易金卷：三年（2021-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题04 导数及其应用（解答题）（理） 知识点目录 知识点1：恒成立与有解问题 知识点2：极最值问题 知识点3：证明不等式 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 知识点5：零点问题 近三年高考真题 知识点1：恒成立与有解问题 1．（2023•甲卷（理））已知，． （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 2．（2021•天津）已知，函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）证明函数存在唯一的极值点； （3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 3．（2023•上海）已知函数，（其中，，，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为． （1）若，，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由； （2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在，处的切线过点，且，，证明：当且仅当或时，（c）（c）． 知识点2：极最值问题 4．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；参考答案 （2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 6．（2023•乙卷（理））已知函数． （1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由； （3）若在存在极值，求的取值范围． 知识点3：证明不等式 7．（2022•新高考Ⅱ）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 8．（2023•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 9．（2021•乙卷（理））已知函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明：． 10．（2023•天津）已知函数． （Ⅰ）求曲线在处的切线斜率； （Ⅱ）当时，求证：； （Ⅲ）证明：． 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 12．（2022•天津）已知，，函数，． （1）求函数在，处的切线方程； （2）若和有公共点． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）求证：． 13．（2022•浙江）设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）已知，，曲线上不同的三点，，，，，处的切线都经过点．证明： （ⅰ）若，则（a）； （ⅱ）若，，则． （注是自然对数的底数） 14．（2022•北京）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的，，有． 知识点5：零点问题 15．（2022•甲卷（理））已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）证明：若有两个零点，，则． 16．（2022•新高考Ⅰ）已知函数和有相同的最小值． （1）求； （2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 17．（2021•新高考Ⅱ）已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点． ①，； ②，． 18．（2021•浙江）设，为实数，且，函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足． （注是自然对数的底数） 19．（2021•甲卷（理））已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用（解答题）（理） 知识点目录 知识点1：恒成立与有解问题 知识点2：极最值问题 知识点3：证明不等式 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 知识点5：零点问题 近三年高考真题 知识点1：恒成立与有解问题 1．（2023•甲卷（理））已知，． （1）若，讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）已知，函数定义域为， 若，此时， 可得 ， 因为，， 所以当，即时，，单调递增； 当，即时，，单调递减； （2）不妨设，函数定义域为， ， 令，， 此时， 不妨令， 可得， 所以单调递增， 此时（1）， ①当时，， 所以在上单调递减， 此时， 则当时，恒成立，符合题意； ②当时， 当时，， 所以， 又（1）， 所以在区间上存在一点，使得， 即存在，使得， 当时，， 所以当时，，单调递增， 可得当时，，不符合题意， 综上，的取值范围为，． 2．（2021