专题04 导数及其应用（解答题）（文）-学易金卷：三年（2021-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）

专题04 导数及其应用（解答题）（文） 知识点目录 知识点1：恒成立与有解问题 知识点2：极最值问题 知识点3：证明不等式 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 知识点5：零点问题 近三年高考真题 知识点1：恒成立与有解问题 1．（2023•甲卷（文））已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 2．（2023•乙卷（文））已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 3．（2021•天津）已知，函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）证明函数存在唯一的极值点； （3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 知识点2：极最值问题 4．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2021•北京）已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若在处取得极值，求的单调区间，并求其最大值和最小值． 6．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，； （2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围． 知识点3：证明不等式 7．（2023•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 8．（2022•上海）． （1）若将函数图像向下移后，图像经过，，求实数，的值． （2）若且，求解不等式． 9．（2022•新高考Ⅱ）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 10．（2022•天津）已知，，函数，． （1）求函数在，处的切线方程； （2）若和有公共点． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）求证：． 11．（2022•北京）已知函数． （Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）设，讨论函数在，上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意的，，有． 12．（2021•新高考Ⅰ）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：． 知识点5：零点问题 13．（2022•甲卷（文））已知函数，，曲线在点，处的切线也是曲线的切线． （1）若，求； （2）求的取值范围． 14．（2022•乙卷（文））已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求的取值范围． 15．（2021•新高考Ⅱ）已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：恰有一个零点． ①，； ②，． 16．（2021•甲卷（文））设函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若的图像与轴没有公共点，求的取值范围． 17．（2021•乙卷（文））已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数及其应用（解答题）（文） 知识点目录 知识点1：恒成立与有解问题 知识点2：极最值问题 知识点3：证明不等式 知识点4：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移） 知识点5：零点问题 近三年高考真题 知识点1：恒成立与有解问题 1．（2023•甲卷（文））已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，， ， 令，，， ， 又， ， 在上单调递减； （2）设，， 则，， ， 在上单调递减， 若，又，则，， 当时，， 又，，，， ，满足题意； 当时，，， ，满足题意； 综合可得：若，则， 所以的取值范围为，． 2．（2023•乙卷（文））已知函数． （1）当时，求曲线在点，处的切线方程； （2）若函数在单调递增，求的取值范围． 【解析】（1）当时， 则， 求导可得，， 当时，（1）， 当时，（1）， 故曲线在点，处的切线方程为：，即； （2）， 则， 函数在单调递增， 则，化简整理可得，， 令， 求导可得，， 当时， 则，， 故，即在区间上单调递减， ，不符合题意， 令， 则， 当，即时， ，， 故在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增， ，符合题意， 当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减，即单调递减， ， 当时，，单调递减， ， 当时，，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 3．（2021•天津）已知，函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）证明函数存在唯一的极值点； （3）若，使得对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，而， 所以在，处的切线方程为； （2）证明：令，则， 令，则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 作出图象，如图， 所以当时，与仅有一个交点，