专题8.2 非线性回归问题（3类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8.2 非线性回归问题 【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】 1 【考点2：非线性回归类型二：指数函数型】 8 【考点3：非线性回归类型三：对数函数型】 13 【知识要点】 1、建立非线性回归模型的基本步骤： ①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量； ②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）； ③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）； ④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型； ⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程； ⑥消去新元，得到非线性回归方程； ⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等. 2、 常见的非线性回归方程的转化： 曲线方程 变换公式 变换后的线性关系式 【考点1：非线性回归类型一：幂函数型】 【知识点：类型一：幂函数型】 1．（2023·高二课时练习）2020年初，新型冠状病毒（COVID-19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：由表格可得关于的二次回归方程为，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（    ） 周数 1 2 3 4 5 治愈人数 2 17 36 93 142 A．0 B．1 C．4 D．5 2．（2023·云南昆明·统考一模）某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下： 记年份代码为 (1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程； (3)预测2023年该公司新能源汽车销售量． 参考数据： 34 55 979 657 2805 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 3．（2023·全国·高二专题练习）某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出(万元)与年度销售量(万台)的数据，如表所示: 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 其中， (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合得到的回归方程为，经计算线性回归模型及该模型的分别为0.75和0.88，请根据的数值选择更好的回归模型拟合与的关系，进而计算出年度广告费为何值时，利润的预报值最大？ 参考公式：，； 4．（2023·全国·高二专题练习）某公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，统计了近5年的年营销费用和年销售量，得到的散点图如图所示，对数据进行初步处理后，得到一些统计量的值如下表所示． 表中，，，．已知可以作为年销售量y关于年营销费用x的回归方程． (1)求y关于x的回归方程； (2)若公司每件产品的销售利润为4元，固定成本为每年120万元，用所求的回归方程估计该公司每年投入多少营销费用，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益销售利润营销费用固定成本） 参考数据：，． 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． 5．（2023春·高二单元测试）某企业为改进生产，现 某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①，②进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值： 14.5 0.08 665 0.04 -450 4 表中，． 若用刻画回归效果，得到模型①、②的值分别为，． (1)利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值． 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． 6．（2023·江苏·高二专题练习）有一个开房门的游戏，其玩法为: 盒中先放入两把钥匙和两把钥匙，能够打开房门，不能打开房门. 每次从盒中随机取一把试开，试开后不放回钥匙.第一次打开房门后，关上门继续试开，第二次打开房门后停止抽取，称为进行了一轮游戏. 若每一轮取钥匙