第7章 第4节 基本不等式（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（理） 第七章　不等式、推理与证明 第4节　基本不等式 a>0，b>0 a＝b 2 2ab 几何平均数 算术平均数 大 x＝y 小 x＝y [课标要求]　1.了解基本不等式的证明过程；　2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．基本不等式： eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) ． (1)基本不等式成立的条件：__________________． (2)等号成立的条件：当且仅当_________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥_________(a，b∈R). (2) eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥___(a，b同号). (3)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (a，b∈R). (4) eq \f(a2＋b2,2) ≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (a，b∈R). 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 eq \f(a＋b,2) ，几何平均数为 eq \r(ab) ，基本 不等式可叙述为两个正数的__________不小于它们的___________． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_________时，x＋y有最___值是2 eq \r(p) .(简 记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_________时，xy有最___值是 eq \f(p2,4) .(简 记：和定积最大) [必记结论] 1．三个重要的结论 (1) eq \f(a2＋b2,2) ≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (2) eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2(ab>0) (3) eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b)) ≤ eq \r(ab) ≤ eq \f(a＋b,2) ≤ eq \r(\f(a2＋b2,2)) (a>0，b>0). 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有 eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,y) ＝(ax＋by) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y))) ＝a＋b＋ eq \f(by,x) ＋ eq \f(ax,y) ≥a＋b＋2 eq \r(ab) ＝( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2. (2)已知a，b，x，y为正实数，若 eq \f(a,x) ＋ eq \f(b,y) ＝1，则有x＋y＝(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y))) ＝a＋b＋ eq \f(ay,x) ＋ eq \f(bx,y) ≥a＋b＋2 eq \r(ab) ＝( eq \r(a) ＋ eq \r(b) )2. 【小题热身】 1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 eq \r(ab) C． eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) > eq \f(2,\r(ab)) D． eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 解析： a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，A错误． 当a<0，b<0时，B，C明显错误． ∵ab>0，∴ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b)) ＝2，D正确． 答案：D 2．若x>0，y>0，且2(x＋y)＝36，则 eq \r(xy) 的最大值为(　　) A．9 B．18 C．36 D．81 解析：由2(x＋y)＝36，得x＋y＝18， 所以 eq \r(xy) ≤ eq \f(x＋y,2) ＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立． 答案：A 3．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析：∵x>0，y>0，∴xy≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2) ，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号，∴xy的最大值为81. 答案：C 4．(2022·山东济宁调研)若正数x，y满足