第6章 第3节 等比数列及其前n项和（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（理） 第六章　数 列 第3节　等比数列及其前n项和 公比 2 同一个 [课标要求]　1.理解等比数列的概念；　2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；　3.了解等比数列与指数函数的关系． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．等比数列的定义 如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比等于_________常 数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常 用字母q表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________． a1·qn－1 3．等比中项 若___________________，那么G叫做a与b的等比中项． 注：只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个． 4．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，则 当q＝1时，Sn＝_______； 当q≠1时，Sn＝____________＝ eq \f(a1－anq,1－q) . G2＝a·b(ab≠0) na1 eq \f(a1（1－qn）,1－q) 5．等比数列的性质 (1)an＝am·qn－m(m，n∈N*). (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(k)) . (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an))) ，{a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)) }，{an·bn}， eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn))) 仍是等比数列． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比 数列，其公比为qn. (5){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn， eq \f(T2n,Tn) ， eq \f(T3n,T2n) ，…成等比数列． [必记结论] 1．三个数成等比数列，通常设为 eq \f(x,q) ，x，xq； 2．四个符号相同的数成等比数列，通常设为 eq \f(x,q3) ， eq \f(x,q) ，xq，xq3.3.等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn(c≠0，q≠0). 4．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0) 【小题热身】 1．已知等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　 ) A．12 B．－ eq \f(1,2) C．1或－ eq \f(1,2) D．－1或 eq \f(1,2) 解析：若q＝1，因为a3＝7，所以S3＝3×7＝21，符合题意；若q≠1，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a1（1－q3）,1－q)＝21，)) 解得q＝－ eq \f(1,2) . 所以公比q的值为1或－ eq \f(1,2) ，故选C． 答案：C 2．已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　 ) A．32 B．64 C．128 D．256 解析：∵a2·a4＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ＝16，∴a3＝4(负值舍去)，① 又S3＝a1＋a2＋a3＝ eq \f(a3,q2) ＋ eq \f(a3,q) ＋a3＝7，② 联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－ eq \f(2,3) 或q＝2， ∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128. 答案：C 3．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若 eq \f(S4,S2) ＝3，则 eq \f(S6,S4) ＝(　　 ) A．2 B． eq \f(7,3) C． eq \f(3,10) D．1或2 解析：设S2＝k(k≠0)，S4＝3k，∵数列{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴ eq \f(S6,S4) ＝ eq \f(7k,3k) ＝ eq \f(7,3) ，故选B． 答案：B 4．各项均为正数的等比数列{an}，其公比q≠1，且a3·a7＝4，请写出一个符合条件的通项公式an＝________． 解析：因为{an}为正项的等比数列，所以a3·a7＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\