第5章 第3节 平面向量的数量积与平面向量应用举例（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（理） 第五章　平面向量、复数 第3节　平面向量的数量积与 平面向量应用举例 同向 反向 |a||b|·cos θ |a||b|cos θ |b|cos θ |a|cos θ 0 |a||b| －|a||b| b·a |a||b| λ(a·b)＝a·(λb) a·c＋b·c [课标要求]　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；　2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；　3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；　5.会用向量法解决某些简单的平面几何问题；　6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．两个向量的夹角 已知两个非零向量a和b(如图)，作 eq \o(OA,\s\up16(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up16(→)) ＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b______；当θ ＝180°时，a与b______；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂 直，记作a⊥b. 2．两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量______________叫做 a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________，规定零向 量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_________的乘积． 4．向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝______________； (2)a⊥b⇔a·b＝___； (3)当a与b同向时，a·b＝____________， 当a与b反向时，a·b＝____________， 特别地，a·a＝|a|2或者|a|＝ eq \r(a·a) ； (4)cos θ＝______； (5)|a·b|≤____________． 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝____________； (2)λa·b＝____________________； eq \f(a·b,|a||b|) (3)(a＋b)·c＝_____________． 6．平面向量数量积的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝___________________； (2)|a|＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ) ； (3)cos 〈a，b〉＝_________________； (4)a⊥b⇔a·b＝0⇔____________________． 7．平面内两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)， eq \o(AB,\s\up16(→)) ＝a，则|a|＝ eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2) . x1x2＋y1y2 eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) x1x2＋y1y2＝0 [必记结论] 1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； 2．两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 3．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【小题热身】 1．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，向量与的夹角为(　　 ) A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,4) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(3π,4) 解析：因为正八边形的内角和为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－2)) π＝6π， 所以与的夹角为π－∠A6A7A8＝π－ eq \f(6π,8) ＝ eq \f(π,4) . 答案：B 2．在边长为3的等边三角形ABC中， eq \o(BM,\s\up16(→)) ＝ e