第4章 第6节 余弦定理和正弦定理（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（理） 第四章　三角函数、解三角形 第6节　余弦定理和正弦定理 续表 2R sin B 2R sin C sin A∶sin B∶sin C [课标要求]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． c2＋a2－2ca cos B a2＋b2－2ab cos C 　备考第1步——梳理教材基础，落实必备知识 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半 径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 (1) eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R (2)a2＝_____________________； b2＝_______________________； c2＝_______________________ b2＋c2－2bc cos A 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (3)a＝2R sin A，b＝_______，c＝________； (4)sin A＝ eq \f(a,2R) ，sin B＝ eq \f(b,2R) ，sin C＝ eq \f(c,2R) ； (5)a∶b∶c＝___________________； (6)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A (7)cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ； cos B＝ eq \f(c2＋a2－b2,2ac) ； cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2．三角形常用面积公式 (1)S＝ eq \f(1,2) a·ha(ha表示边a上的高). (2)S＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1,2) bc sin A． (3)S＝ eq \f(1,2) r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径). [必记结论] 1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形： eq \f(A＋B,2) ＝ eq \f(π,2) － eq \f(C,2) . 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C； (3)sin eq \f(A＋B,2) ＝cos eq \f(C,2) ； (4)cos eq \f(A＋B,2) ＝sin eq \f(C,2) . 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B． 【小题热身】 1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于(　　 ) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(9＋25－49,30) ＝－ eq \f(1,2) ，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝ eq \f(2π,3) ，故选C． 答案：C 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　 ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得 eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ，∴sin B＝ eq \f(b sin C,c) ＝ eq \f(40×\f(\r(3),2),20) ＝ eq \r(3) >1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C 3．在△ABC中，若A＝60°，a＝4 eq \r(3) ，b＝4 eq \r(2) ，则B＝________． 解析：由正弦定理知 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ，则sin B＝ eq \f(b sin A,a) ＝ eq \f(4\r(2)×\f(\r(3),2),4\r(3)) ＝ eq \f(\r(2),2) .又a>b，则A>B，所以B为锐角，故B＝45°. 答案：45° 4．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________． 解析：易知c＝ eq \r(4＋9－2×2×3×\f(1,2)) ＝ eq \r(7) ，△ABC的面积等于 eq \f(1,2) ×2×3× eq \f(\r(3),