第2章 创新拓展系列(三) 嵌套零点问题（PPT课件）-【正禾一本通】2024高考理科数学高三一轮总复习高效讲义（老教材老高考）

2024版·生物学 2024版·数学（理） 第二章　函数的概念与基本初等函数Ⅰ 创新拓展系列(三)•嵌套零点问题 嵌套函数和一些复杂的分段函数求零点是一种常考题型．在解关于x的方程g[f(x)]＝0根(或根的个数)时，要分两层来分析，第一层是解关于g(t)＝0的方程，第二层是解f(x)＝t的方程，将x的个数汇总后即为g[f(x)]＝0根的个数．综合考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养． [典例](2022·山东聊城模拟)已知1<a< eq \r(2) ，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，\f(1,2)<x≤2，,ln （x－1），2<x≤\r(e)＋1，)) 则方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：因为4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0， 所以[2f(x)－1][2f(x)－a]＝0， 所以f(x)＝ eq \f(1,2) 或f(x)＝ eq \f(a,2) ，画出f(x)的大致图象，如图， 因为 eq \f(3,4) > eq \f(\r(2),2) ，所以 eq \f(1,2) < eq \f(a,2) < eq \f(\r(2),2) < eq \f(3,4) ， 因为直线y＝ eq \f(a,2) 与函数y＝f(x)的图象有1个交点， 直线y＝ eq \f(1,2) 与函数y＝f(x)的图象有2个交点， 故方程4f2(x)－2(a＋1)f(x)＋a＝0的解的个数是3. 答案：B 【思维升华】　求嵌套函数y＝g[f(x)]零点的技巧 (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题时一般要先作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象． (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g[f(x)]＝0中f(x)解的个数，再根据f(x)解的个数与f(x)的图象的特点，分配每个函数值fi(x)被几个x所对应，从而确定fi(x)的取值范围，进而确定参数的范围． 【创新集训】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1＋1，x≤1，,|ln （x－1）|，x>1，)) 若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋ eq \f(4,3) 的零点个数为4，则实数a的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(5,6))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)，2)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(5,6))) ∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞)) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) 解析： f(x)的图象如图所示．令f(x)＝t，因为F(x)＝f2(x)－2af(x)＋ eq \f(4,3) 有4个不同的零点，故t2－2at＋ eq \f(4,3) ＝0有解，设为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝ eq \f(4,3) .由题设可得关于x的方程f(x)＝t1和f(x)＝t2共有4个不同的解，故 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1≠t2，,0<t1≤1，,0<t2≤1)) (舍去)，或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1≠t2，,0<t1≤1，,t2>2，)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1≠t2，,t1>2，,t2>2)) (舍去).所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＋\f(4,3)≤0，,4－4a＋\f(4,3)<0，,0－2a×0＋\f(4,3)>0，)) 解得a> eq \f(4,3) . 答案：D $