专题15 一元二次方程根的判别式+根与系数的关系-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题15 一元二次方程根的判别式+根与系数的关系 一、单选题 1．已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次不等式组，然后求解即可解答． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数解， ∴且，解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的情况，利用根的判别式列式求出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握利用根的情况求方程中未知参数的方法． 3．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得， 故选. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，学会运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为(   ) A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于的不等式组是解题的关键． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据关于的一元二次方程有实数根可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件，是解题的关键． 二、填空题 6．已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________． 【答案】7 【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可． 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴解得． 故答案为：7． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 7．已知是一元二次方程的两根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到，的值，即可求得． 【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根 ∴， 则原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键． 8．若、为的两根，则的值为______． 【答案】0 【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可． 【详解】解：α，β是方程的两个实数根， 可得， ∴． ∴的值为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，． 9．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于___________． 【答案】2035 【分析】由，是方程的两个实数根，可得，，则，而 ，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键． 10．若，满足，，且，则的值为______ ． 【答案】 【分析】由，满足，，且，可得，是方程的两个根，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，满足，，且， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程是解本题的关键． 三、解答题 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)化简：； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式求得，即可得到； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据得到，代入即可得到，解得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ； （2）根据题意得，， ， ， 即， 解得， ， 的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 12．关于