专题14 一元二次方程代数证明（选择题）-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题14 一元二次方程代数证明（选择题） 1．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算： ①若A+B=10，则； ②，则x需要满足的条件是； ③，则关于x的方程无实数根； ④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5． 上面说法正确的有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴①当时，则，解得：，故①错误； ②当，则， 当时，，解得：； 当，，解得：； 当，，解得：（舍去）； 综上所述：，故②正确； ③若，则或， 当时，，，无解； 当时，，，无解； ∴，关于x的方程无实数根；故③正确； ④∵， 若为整数，则是整数， ∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确； ∴正确的有②③④ 故选：C 【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键． 2．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（    ）个． （1）存在实数x使成立，则k的取值范围是； （2）若，则； （3）若，则或； （4）存在整数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由，得，根据，得，可判断①正确；由，得同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，3，可判断③错误；若，可得，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误． 【详解】解：若，则，即， ∵存在实数x使成立， ∴有实数根，即， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 若， ∴， ∴同号， ∴或，故②错误，不符合题意； 若； ∴， ∴或， 当时，， 当时，3， ∴③错误，不符合题意； 若 ，则， ∴， ∴ ， ∴， 即， 若y为整数，则x不是整数， ∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意； ∴正确的有①，共1个； 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形． 3．已知两个多项式、，（其中x为实数）， ①若，则； ②存在实数x，使得； ③已知，则的值为1562； ④当时，若，则的值为． 以上结论中正确的个数有（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】①根据题意列出方程求解即可判断；②求出可知恒大于0，从而判断；③分别令和，再把所得式子相减化简即可判断；④由可得，从而得到，继而推出，由此判断． 【详解】解：①∵、， ∴， 化简得：， 解得：， 故①错误； ②∵、， ∴， ∴不存在实数x，使得， 故②错误； ③∵ 即 令得：①， 令得：②， 由①-②得：， ∴， 故③正确； ④∵， 即， 化简得： ∵ ∴两边除以x并整理得：， ∴， ∴ 故④错误． 正确的为③，共1个， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，配方法的应用，加减消元法，利用完全平方公式计算等知识，综合能力要求较高，掌握相关基础知识并融会贯通是解题的关键． 4．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 5．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则其中正确的（  ） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题． 【详解】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么