专题11 几何证明旋转类-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题11 几何证明旋转类 1．如图，为等边三角形，D为边上一点，过点D作，交于点E，连接，F为的中点，连接． (1)如图1，，求的面积； (2)如图2，点G在内部，连接，过点G作，垂足为K，，垂足为H，，连接．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点D在线段上运动，连接，延长交于点P，将线段绕F点顺时针旋转到，与相交于点Q，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于G，解，求得和，进而解直角，求得，从而求得的面积，进一步得出结果； （2）连接EG，KF，可得出，，，，从而得出，进一步得出结果； （3）取的中点M，作直线，交于R，作于T，可推出点在过的中点V，且与平行的直线上运动，当时，最小；设与交于X，交于I，交于W，作于Y，设，则，进一步求得，，从而得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴； （2）证明：如图2， 连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴G在的平分线上， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴G在的垂直平分线上， ∴点G是等边三角形的中心， ∴，K是的中点， ， ∴， ∵F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3， 取的中点M，作直线交于R，作于T， ∵点F是的中点， ∴， ∴点F在过中点M，且与平行的直线上运动， 由（2）知：， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转知：， ∴， ∴， ∴点在过的中点V，且与平行的直线上运动， ∴当时，最小， 如图4， 设与交于X，交于I，交于W，作于Y， 设，则 ∴， ∴， ∵，， ，， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形及寻找点的轨迹． 2．如图，和中，. (1)如图1，若，.点A、B、D共线时，探究与的关系，说明理由； (2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明. (3)如图3，若，.点A、B、D不共线时，点G为的中点，绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的取值范围. 【答案】(1)且,理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意得到，然后利用全等三角形的性质和等量代换解题即可； （2）延长至G，使得，连接，则，然后推导解题即可； （3）取的中点O，连接以为半径作圆O，则点G在圆O上运动，，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）且,理由为： ∵，，. ∴ ∴， 又∵ ∴ 即 ∴ （2），理由为： 如图，延长至G，使得，连接， ∵H是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ （3）如图，取的中点O，连接以为半径作圆O, 则是的中位线， ∴，， 所以点G在圆O上运动， 在中， ， ∴线段的取值范围为 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．在等腰中，，，将斜边绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，交于点G，过点C作于点F． (1)如图1，当旋转时，若，求的长； (2)如图2，当旋转时，连接，恰好使，延长交于点E，连接，求证：； (3)如图3，点M是边上一动点，在线段上存在一点N，使的值最小时，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点G作于点H，得到，即可求得，再由，解直角三角形可求得 （2）延长交于点T，连接，求得，可得，，由，得到，即可得到 （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接、，当点P、Q、N、A四点共线时，的值最小，此时是等腰直角三角形的一条中线，即可求得的面积 【详解】（1）∵在等腰中，，， ∴， 过点G作于点H， ∵将斜边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长交于点T，连接， ∵在等腰中，，， ∴， ∵将斜边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴，且， ∵， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∴ （3）如下图，将绕点B逆时针旋转，得到，连接、， 则，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴当点P、Q、N、A四点共线时，的值最小， ∴当点P、Q、N、A四点共线时，，且，，， ∴此时是等腰直角三角形的一条中线， ∴， ∴，， ∴，， ∴的面积为： 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会转化的思想思考问题 4．如图1，在平行四边形中，于点，，