专题10 几何证明翻折类-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题10 几何证明翻折类 1．在中，，过B点作于点E，点D为线段的中点，连接．    (1)如图1，，求的长度； (2)如图2，将线段绕着点D逆时针旋转得到线段，此时，连接，点F为的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点P是线段上一点，连接，将沿翻折到同一平面内得到，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求出，则； （2）过点D作于点H，过点F作于点J．连接，则，先证明，进一步证明，再证明，即可证明，得到，则，再证明B，即可证明； （3）如图3中，以为边向上作等边三角形，连接，证明，得到，则，求出，则的最小值为，此时B．Q．K共线，作于点J，利用等面积法求出，则此时的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴； （2）证明：过点D作于点H，过点F作于点J．连接．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴B， ∴； （3）解：如图3中，以为边向上作等边三角形，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，此时B．Q．K共线， 作于点J， ∵， ∴， ∴此时的面积． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，为的中线，以为直角边在其右侧作直角，，与交于点F，．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若将绕点C逆时针旋转得到，连接、，探究、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，，，直线上有一点M，连接，将沿着翻折到所在的平面内得到，取的中点P，连接，当最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，即； （2）倍长至点H使得，连接、、，证明，可得，，，再证明，即有，，进而可得，设，与交于点K，根据，可得，，在四边形中，，可得为等边三角形，问题得解； （3）先证明是等边三角形，即在中，，根据翻转可知：，结合的中点为P点，可得，即可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小，过F点作于S点，过P点作于T点，问题随之得解． 【详解】（1）在中，∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 倍长至点H使得，连接、、，    ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，与交于点K， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴结合，可得为等边三角形， ∴； （3）∵，，， ∴在中，，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴在中，， 根据翻转可知：， ∵的中点为P点， ∴， ∴可知点P在以F为圆心，长为半径的圆上， 如图， 即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段上时，最小， 如图，过F点作于S点，过P点作于T点，    ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 即当最小时，． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明点P在以F为圆心，长为半径的圆上，是解答本题的关键． 3．如图，中，．点D在的延长线上． (1)如图1，若，求出的度数； (2)如图2，以为腰在上方作等腰直角三角形，．点F是的中点，过点F作于G．求证：； (3)当时，仍按（2）的方式作等腰直角三角形和，把沿翻折到平面内，点F的对应点为．若，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点C作于点H．在中，，，可得，，问题即可得解； （2）连接，先证明，即有，即有，即可得，根据点F为中点，可得，，问题随之得解； （3）连接，过点作，交的延长线于点，根据（2），同理可得，，，根据翻转的性质有：，，根据，结合，可得，进而得，即有，，，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，过点C作于点H． ∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接，如图， 根据等腰直角三角形的性质可知：， ∵， ∴， 在和中，， ∵， ∴， ∴， ∵， 则， ∵点F为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）连接，过点作，交的延长线于点，如图， 根据（2），同理可得，，， 根据翻转的性质有：，， ∵， ∴， ∵，在等腰中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，