专题09 几何证明最值问题-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题09 几何证明最值问题 1．如图，在等边中，点D是边上的一个动点，点E是射线上的一个动点，连接，．      (1)如图1，若点D为线段的中点，点E在线段上，，，求的面积； (2)如图2，若点E在延长线上，以为边，在右侧作等边；过点F作交于点G，当时，求证：； (3)如图3，点E在延长线上，，将沿直线翻折得到，点E的对应点为点；内部有一动点P，满足，若6，当的长度最小时，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点M，得出，设，，，列出方程求解，进而得出，，即可求解； （2）过点D作，交于点N，通过证明为等边三角形，，得出，再证明，得出，根据，得出，则，即可求证； （3）易证，以为边在右边作等边三角形，则，可得点A、P、C、Q四点共圆，过点A作，过点C作，相交于点O，根据圆周角定理推出点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上，过点O作于点H，求出，当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值．根据将沿直线翻折得到，可得点在与夹角为的直线上运动，则当时，取最小值，求出，连接，于相交于点P，根据勾股定理可得：，即可求出．． 【详解】（1）解：过点D作于点M， ∵是等边三角形，点D为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∵、为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴．    （3）解：∵，， ∴， ∴在中，， 以为边在右边作等边三角形，则， ∴， ∴点A、P、C、Q四点共圆，   过点A作，过点C作，相交于点O， ∴，， ∴在中，，， ∵， ∴点A、P、C、Q四点在以点O为圆心，为半径的圆上， 过点O作于点H，   ∴， ∴， ∴， ∴当点E、P、O在同一条直线上时，取最小值． ∵将沿直线翻折得到，   ∴，则， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴当时，取最小值， ∵， 此时， ∴， 连接，于相交于点P， 根据勾股定理可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解题直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，以及圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 2．如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．    (1)如图1，若D为中点，，，求的长； (2)如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点P，使的值最小，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质勾股定理得出，证明三角形相似的判定和性质计算即可． （2）延长到点，使，连接，证明，进而得出，证明是的中位线，即可得证； （3）根据当时，最小，求得,过点作，，垂足分别为，且，，则，得出，在中，勾股定理得出，则，当四点共线时，取得最小值，过点作交的延长线于点，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）∵为等边三角形，为中点，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）．理由如下： 延长到点，使，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ， ∵，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． （3）如图所示，设交于点，    由（2）可得， ∴， ∵ ∴ ∵翻折， ∴， 将绕点顺时针旋转得到 ∴，，是等边三角形， ∵ ∴ ∴当时，最小， 过点作于点，    ∵，， ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作，，垂足分别为，且，，    ∴ ∴， 在中，，则， ∴ ∴， ∴ 当四点共线时，取得最小值， 如图所示，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∵， ∴，, ∴，    ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理是解题的关键． 3．在中，，点D为上一点，点E为的中点，连接．    (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，若，将绕点E顺时针旋转90°得到，连接并延长交于点G，过E作交于点H，求证：； (3)如图3，点D为射线BC上一点，在（2）的条件下，连接BF，点P为线段BF上一点且满足，将沿翻折至所在