专题08 几何证明正方形类-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题08 几何证明正方形类 1．如图1，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接． (1)若，，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的点落在正方形的边上，如图2，连接，点是的中点，连接，延长交于点．请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质知，运用勾股定理计算即可； （2）延长与的延长线交于一点，转化为，运用三角形的中位线性质易得证； （3）类比（2）的方法解答，即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ， 等腰中，，，， ， ∴， ， 点是的中点， ； （2）解：如图①，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， 点是的中点， ； （3）解： 如图②，延长与的延长线交于一点， 则是等腰直角三角形，为的中点， ， ， 点是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线性质，灵活应用转化的思想是问题解决的关键． 2．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，、交于点，且． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，延长、交于点，连接，若，过点作于，连接，求证． 【答案】(1)AF⊥BE，理由见解析； (2)见解析 【分析】（1）由SAS可证△ABE≌△DAF可得∠DAF= ∠ABE，然后由余角的性质可得结论； （2）过点E作EM⊥BC于M，根据等腰三角形的性质可得BM= MH=BH，再根据等腰三角形的性质GM=BH，即GM=BM；再证四边形ABME是矩形可得AE=BM，即可证明结论． （1） 解：AF⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB = AD，∠BAE = ∠ADF = 90° 在ΔABE和ΔDAF中， AB= AD， ∠BAE = ∠ADF，AE = DF ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴∠DAF= ∠ABE， ∵∠AEB+ ∠ABE = 90°， ∴∠DAF+ ∠AEB = 90° ∴∠AGE = 90°，即BE⊥AF． （2） 解：如图：过点E作EM⊥BC于M， ∵EB= EH，EM⊥BC， ∴BM= MH=BH， ∵AH⊥BE ∴GM=BH ∴GM=BM ∵EM⊥BC，∠ABC =∠BAD = 90° ∴四边形ABME是矩形， ∴AE = BM， ∴GM = AE． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解答本题的关键． 3．在正方形ABCD中，连接对角线AC，在AC上截取，连接BE，过点A作于点F，延长AF交BC于点M． (1)如图1，连接ME并延长交AD的延长线于点Q，若，求的面积； (2)如图2，过点A作于点A，交CD的延长线于点P，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，再利用边角边的判定定理，可证，再根据全等的性质以及正方形的性质证明为等腰直角三角形，求出AQ的长，最后用三角形的面积公式求出的面积即可； （2）如图（见详解），在FA上截取，连接BG，先利用角边角的判定定理证明，再利用角边角的判定定理证明，就能得到AM=AP，AG=BE，MG=2FM，即可证明． 【详解】（1）（1）解：∵四边形ABCD是正方形 ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 且， ∴． ∴，． ∵ ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． （2）证明：如图，在FA上截取，连接BG． ∵四边形ABCD是正方形，P在CD的延长线上， ∴．    又∵， ∴，    ∴， 即． 又∵， ∴． ∴． ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴BF垂直平分MG ， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∵． ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质几何综合，熟练掌握相关性质定理以及全等三角形的判定定理并灵活应用是解题的关键． 4．如图1，在正方形ABCD中，E为CB延长线上的一点，且，M、N分别为AE、BC的中点，连接DE交AB于点O，交MN于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，过点A作AP垂直ED于点P，连接BP，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）延长BC至F，且使，连接AF、DF，利用SAS证明，得出，由MN为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交DE于Q，利用ASA证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形