专题06 几何证明矩形类-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题06 几何证明矩形类 1．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，点E是边AD的中点，点F是线段AE上一点（点F不与点A，E重合），连接BF，过点F作直线BF的垂线，与线段CE交于点G，连接BG，点H是线段BG的中点． (1)若CE=2，求矩形ABCD的面积； (2)求证：BF=EH. 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】（1）证明△DEC为等腰直角三角形，则可求得DC，进而可求得AD，即可求得矩形的面积； （2）在AB上截取AM=AF，连接BE，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到BF=FG，结合勾股定理可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BG=2EH，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠A=90°， ∵BC=2AB，点E是边AD的中点， ∴DE=AE=CD=AB， ∴△DEC为等腰直角三角形， 则，即， ∴CD=2，则AD=2DE=2CD=4， ∴矩形ABCD的面积为2×4=8； （2）解：如图，在AB上截取AM=AF，连接BE， ∵AE=AB，∠A=90°，AM=AF， ∴BM=EF，∠ABE=∠AEB=45°，∠AMF=∠AFM=45°，则∠BMF=135°， ∵DE=CD，∠D=90°， ∴∠DEC=∠DCE=45°， ∴∠FEG=135°=∠BMF，∠BEG=90°， ∵BF⊥FG， ∴∠BFG=90°，又∠A=90°，   ∴∠ABF+∠AFB=∠EFG+∠AFB=90°， ∴∠MBF=∠EFG， 在和中， ∴, ∴BF=FG，又∠BFG=90°，   ∴， ∵∠BEG=90°，点H是线段BG的中点， ∴，即BG=2EH， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握相关知识的联系与运用，并能通过作合适的辅助线构造全等三角形解决问题． 2．（1）如图1，等腰（为底）与等腰（为底），，判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，使，连接，当时，求的长度； （3）如图3，矩形中，若，，点在线段上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连结，中点为，中点为，若，直接写出的长．    【答案】（1）；见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先证明，再根据边角边证明，即可求解； （2）作于，先证明，得到，，，再在中，由勾股定理即可得解； （3）如图，延长、交于点，过点A作于N，连接、，过点H作于P，连接并延长交AM延长线于Q，根据正切的定义可得，根据旋转的性质可证明是等边三角形，通过证明点、、、四点共圆，可得是等边三角形，通过证明≌， ≌得出是的中位线，设，分别表示出、，利用勾股定理列方程求出的值即可得答案． 【详解】（1）；  理由如下： ∵与都是等腰三角形，，； 又因为，所以，即， 所以，所以.    （2）解：点在线段上运动，如图，作于， ∵，∴， ∵，，∴， 由旋转的性质可得，， ∵， ∴在和中， ， ∴，， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∵ ∴在中，由勾股定理得， ∵，∴，， ∵，∴. ∴在中，由勾股定理得.    （3）解：.理由如下： 如图，延长、交于点，过点A作于N，连接、，过点H作于P，连接并延长交AM延长线于Q， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴是的中位线， 设，则， ∴= ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点在上， ∴ ∴，即    【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、矩形的性质、旋转的性质、勾股定理、四点共圆的判定、圆周角定理、全等的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 3．如图，在矩形ABCD中，AM平分∠BAD，交BC于点M，点N是AD上的一点，连接MN，MD，且MN＝MD，过点D作DF⊥MN于F，DF延长线交AM于E，过点E作EP⊥AD于P． (1)如图1，①若CD＝6，AD＝8，求线段CM的长； ②求证：△PED≌△CMD． (2)如图2，过点F作FH⊥CD于H，当AM＝AD时，若AB＝1，求FH的值． 【答案】(1)①CM=2；②见解析 (2)FH= 【分析】（1）①根据角平分线定义和矩形的性质可AB= BM = 6，AD=BC=8，即可得结论；②如图1中，过点M作MH⊥AD于H，想办法证明DM=DE，∠EDP=∠CDM可得结论； （2