21.2.1 解一元二次方程（第一课时）（直接开平方法）（教学设计）-【上好课】九年级数学上册同步高效课堂（人教版）

21.2.1 解一元二次方程（直接开平方法）教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次方程”21.2.1 配方法第1课时，内容包括：利用直接开平方法解一元二次方程。 2.内容解析 教材通过引入实际问题，利用方程的思想建立数学模型，结合我们已学平方根的相关知识，介绍求解形如x2＝p(p≥0方程的方法。再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的实质是将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用直接开平方法解一元二次方程。 二、目标和目标解析 1.目标 通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。 2.目标解析 本节课我们用到之前所学平方根的知识，通过平方根的意义，尝试求解形如x2＝p(p≥0)的方程。在此基础上，我们想要求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，就需要借助数学转化的思想，将未知内容转化为已知知识，加以解决。利用转化的思想，在解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的过程中，我们可以令mx+n=t，将方程转化为t2＝p(p≥0)，则t=，所以mx＋n=，即解(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的实质是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，并求解的过程。通过本节课的学习，锻炼学生将未知问题转化为已经掌握的知识、方法来解决的能力，理解数学转化思想。 达成目标的标志是：熟练运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。 三、教学问题诊断分析 对于直接开平方法解一元二次方程的探索，教材中通过具体问题，利用方程的思想建立数学模型，再经历观察、探索、归纳小结等过程，结合平方根的意义，得到求解形如x2＝p(p≥0)方程的方法。再通过转化的思想，将解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方程转化为解两个一元一次方程的过程。解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方程如何“降次”，成了求解此类方程的关键，首先需要判断p的取值范围。 一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个不相等的实数根x1＝ , x2 ＝ ； 2)当p＝0时方程②有两个相等实数根x1＝x2＝； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ≥0，所以方程② ≥实数根。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：如何通过“降次”的方法求解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方程。 四、教学过程设计 （一）复习旧知，引入新课 1.如果 x2=a,则x叫做a的 . 2.如果 x2=a(a ≥0),则x= . 3.任何数都有平方根吗？ 答案：平方根；±；负数没有平方根 【提问】求下列各数的平方根 1） 2） 3）0.36 4） 2 答案： (1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13． (2)因为(± )2= ，所以的平方根是± ． (3)因为(±)2 = ，所以的平方根是±． (4)因为(±)2 =2，所以的平方根是±． 师生活动：师生共同回顾平方根的相关知识，从而引出本节课所学内容。 【设计意图】先回顾平方根的知识，为本节课的学习利用直接开平方的方法解一元二次方程做好铺垫。通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。 （二）新知探究 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗? 师生活动：学生思考，独立完成，教师板演。针对求得的结果，教师需提示学生：用方程解决实际问题时，要考虑所求得结果在实际问题是否有意义。 【设计意图】利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并求解的过程，体会生活中处处有数学，引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容。 （三）新知讲解 一般地，对于方程x2＝p ①， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________； 2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。 答案：1）不相等、x1＝- , x2＝ ；2）相等、x1＝x2＝0；3）≥、无 师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出具体答案。 【设计意图】让学生经历观察、发现、归