重难点03 向量的数量积与应用十二大题型汇总-2022-2023学年高一数学下学期期末复习【重点·难点】专练

重难点03向量的数量积与应用十二大题型汇总 技巧一.求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 技巧二.求平面向量数量积的步骤 (1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]； (2)分别求|a|和|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去． 技巧三.求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． （3）一些常见的等式，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． 技巧四.向量夹角为锐角（钝角）的充要条件 ①两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线； ②两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线． 技巧五.平面向量最值范围问题的常用方法 1、定义法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论. 2、坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解. 3、基底法 第1步：利用基底转化向量； 第2步：根据向量运算化简目标； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论； 4、几何意义法 第1步：结合条件进行向量关系推导； 第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹； 第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围. 题型1向量的投影 【例题1】（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ） A．​ B．1 C．​ D．2 【变式1-1】（多选）（2023春·四川成都·高一成都实外校考期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量、、，满足，，则 B．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底 C．若向量，，则在上的投影向量为 D．若向量、满足，，，则 【变式1-2】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知向量，，则向量在方向上的数量投影为___________. 【变式1-3】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）已知，方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为_____． 【变式1-4】（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为___． 【变式1-5】（多选）（2023秋·云南·高一云南师大附中校考期末）设，是互相垂直的单位向量，，，下列选项正确的是（    ） A．若点C在线段AB上，则 B．若，则 C．当时，与共线的单位向量是 D．当时，在上的投影向量为 题型2向量的数量积 【例题2】（2022春·河南濮阳·高一统考期末）已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（    ） A．3 B． C． D． 【变式2-1】（2022春·福建福州·高一校联考期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ）.    A． B． C． D． 【变式2-2】（2021春·浙江·高一期末）已知向量，，满足，，且，则（        ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2-3】（2021秋·广西·高一统考期末）如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 【变式2-4】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）如图，在中，，为边的中点．设向量，向量，求： (1)； (2)求． 题型3向量的夹角与余弦值 【例题3】（2021春·河南郑州·高一统考期末）已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2021春·陕西汉中·高一校考期末）已知，为单位向量，且，若，且与的夹角为θ，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2020秋·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2021春·安徽宿州·高一校考期末）已知三个顶点的坐标分别为，，． (1)若，求c的值； (2)若，求的值． 题型4向量的模长 【例题4】（2021春