第07讲 二次函数的几何应用-【暑假预习课堂】2023年新九年级数学【赢在暑假】同步精讲精练（浙教版）

第07讲 二次函数的应用-几何应用 1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。 在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。 解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。 2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。 解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“ 3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。 或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形． 解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。 4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。 解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。 5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。 解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。 6、相似三角形 (第4章) 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。 解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。 例1．如图1，在中，，已知点P在直角边AB上，以的速度从点A向点B运动，点Q在直角边BC上，以的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处．图2是的面积与点P的运动时间之间的函数关系图像（点M为图像的最高点），根据相关信息，计算线段AC的长为（     ） A． B． C． D． 例2．如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（       ） A．B．C． D． 例3．如图，在中，，，，，点B，C，D，E在同一直线上（点C和点D重合），从点C出发沿射线方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点E运动到点C处时，停止运动．设运动时间为x秒，和重叠部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（       ） A． B． C． D． 例4．如图，过点的抛物线：（常数）与轴和轴分别交于点，点，点是抛物线上一点，且//轴，作直线和．甲、乙、丙三人的说法如下：甲：用表示点的坐标为；乙：当，的值有2个，则；丙：若，点是直线上的一点，点到直线的最大距离为．下列判断正确的是（       ） A．甲对，乙和丙错 B．乙对，甲和丙错 C．甲和丙对，乙错 D．甲、乙、丙都对 例5．已知抛物线与轴交于A，B两点，P为抛物线顶点，且当时，y随的增大而减小，若△ABP为等边三角形，则的值为（       ） A． B． C． D． 例6．如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为（       ） A． B． C． D． 例7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为_________． 例8．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足c=3，a+b=5，则此三角形面积的最大值为_____． 例9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点