专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.4 矩形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】矩形的定义：有一个内角为90度的平行四边形叫做矩形。 【例1】已知平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 解：、四边形是平行四边形， ∴， ， ， 平行四边形是矩形，故选项不符合题意； 、四边形是平行四边形， ， 选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B符合题意； 、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 、， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 【变式】如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，添加以下哪个条件，能使平行四边形ABCD是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 解∵四边形ABCD是平行四边形；且AD⊥AB ∴四边形ABCD是矩形 故选A 【点拨】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形的概念是解题关键． 【知识点2】矩形的性质 从角的角度看：矩形四个内角是直角； 从对角线角度看：矩形的对角线相等； 从对称性角度看：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。 【例2】菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角互补 【答案】C 【分析】直接根据菱形与矩形的性质定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用． 【详解】解：∵菱形的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线垂直且互相平分；矩形具有的性质：对角相等，对边平行且相等，对角线相等且互相平分， ∴菱形具有而矩形不具有的性质是：对角线互相垂直． 故选C． 【点拨】本题考查了菱形的性质以及矩形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解答此题的关键． 【变式】平行四边形没有而矩形具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】A 【分析】根据平行四边形和矩形的性质进行解答即可． 解：平行四边形和矩形都具有的性质是对角线互相平分，对角相等，平行四边形没有而矩形具有的性质是对角线相等，对角线互相垂直平行四边形和矩形都不具有，故A正确． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了平行四边形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的矩形的性质． 【知识点3】直角三角形斜边上的中线 性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半 【例3】如图中，，，的周长是11，于F，于点E，且点D是的中点，则的长为（　　）    A．36 B． C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 解：，，是的中点， ， ，， 点是的中点， ， ， ， 的周长， ， 由勾股定理知． 故选：B． 【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键． 【知识点4】矩形的判定 判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形； 判定定理2：有三个内角是直角的四边形是矩形。 【例4】如图，矩形中，，． (1)利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 1 【分析】（1）利用基本作图，作即可； （2）先利用矩形的性质得到，，则，然后证明得到，据此即可求解． 解：（1）解：如图， 点为所求作的点； （2）解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质． 【变式1】如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D． (1) 直接写出A、B两点的坐标．； (2) 点P在何处时，矩形的面积为1． 【答案】(1)，； (2) 1 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）设，则，根据矩形的面积为1，可得到关于a的方程，解出即可． （1）解：当时，； 当时，， 解得：， ∴，； （2）解：∵点P在一次函数的图像上， ∴可设，则， ∵矩形的面积为1， ∴， 即， 解得，， ∴或， 综上所述，当或时，矩形的面积为1． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质．熟练掌握一次函数图象上所有点的坐标都满足该函数关系式是解