专题06 等式性质与不等式性质-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题06 等式性质与不等式性质 考点目录 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 利用不等式的基本性质和作差法、作商法比较两数(式)的大小 考点三 利用不等式的性质证明不等式 考点四 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 一、两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质 ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，. 二、不等式的性质 ①基本性质有： (1) 对称性：； (2)传递性： (3)可加性：(c∈R)； (4)可乘性：a>b， ②运算性质有： (1)同向可加法则： (2)同向同正可乘法则： (3)可乘方性： 三、比较两代数式大小的方法 作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小. ①；②；③. 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）.经常选择0或1为中间量. 四、利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“范围”间的联系．如已知20＜x＋y＜30,15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范围，不能分别求出x，y的范围，再求2x＋3y的范围，应把已知的“x＋y”“x－y”视为整体，即2x＋3y＝(x＋y)－(x－y)，所以需分别求出(x＋y)，－(x－y)的范围，两范围相加可得2x＋3y的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求． 考点一：用不等式(组)表示不等关系 例1：（单选题）（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】根据数量关系列不等式，“不超过”不等号为“小于等于”. 【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 考点二：利用不等式的基本性质和作差法、作商法比较两数(式)的大小 例2：（单选题）（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确. 【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误； 对于B，当，，时，满足，但，所以B错误； 对于C，由不等式的基本性质易知，当，，时满足，，但，所以C错误； 对于D，，所以，故D正确．故选：D． 考点三：利用不等式的性质证明不等式 例3：（解答题）（2023·高一课时练习）（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：（1）因为，， 所以 因为，，所以，， 所以，即； （2）因为，且，所以，， 所以，所以，所以； 考点四：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 例4：（填空题）（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的取值范围是______. 【分析】根据不等式的性质可得. 【详解】解：∵，∴， ∵，∴.故答案为：. 例5：（单选题）（2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】首先用和表示，再根据条件的范围，求解的范围. 【详解】设， 得，解得：， 所以， 因为，，所以，， 所有的范围是.故选：C 考点一：用不等式(组)表示不等关系 一、单选题 1．（2023秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 2．（2023秋·黑龙江双鸭山·高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦