精品解析：山西省山西大学附属中学校2023届高三下学期5月月考数学试题

数学试题 考试时间：120分 总分：150分 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，为虚数单位，若为实数，则a＝（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先进行分母实数化，化简，再根据条件得虚部为零，计算即得结果. 【详解】因为为实数，则，即，所以. 故选：A. 2. 如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合. 【详解】由韦恩图可知，， 因为，， 则，，因此，. 故选：D. 3. 已知函数同时满足性质:①;②当时,,则函数可能为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减,再逐项分析即可. 【详解】①说明为偶函数，②,说明函数在上单调递减. A不满足②，B不满足①， C不满足②,因为在单调递减，在单调递增. 对于D,满足①,当,单调递减,也满足②. 故选：D. 4. 我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如图①，是一个“勾股圆方图”，设，，；在正方形EFGH中再作四个全等的直角三角形和一个小正方形IJKL，且，如图②．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则，，，化简得到. 【详解】解析：因为， ， 所以， 所以， 故选：B． 5. 某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为，，则焦点在轴上的椭圆的离心率的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率，有，解得，再利用列举法和古典概型概率计算公式，求得相应的概率. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 而，解得， 投掷骰子得到点数共有种， 其中满足的有： 共种， 所以所求概率为. 故选：C. 6. 年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的个家庭买了张连号的门票，其中甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分到剩余的个家庭即可，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据甲、乙个家庭的张票是否连号分类计算. 【详解】若甲、乙个家庭张票连号，则有种不同的分配方法， 若甲、乙个家庭的张票不连号，则有种不同的分配方法， 综上，这张门票共有种不同的分配方法， 故选：C. 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用对数运算将a、b、c化简，构造函数，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果. 【详解】由，得， 由．得， 由，得． 设函数，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 所以， 又因为，，， 所以， 又因为，，， 所以a，b，c均大于， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A. 8. 已知正三棱柱的底面边长，其外接球的表面积为，D是的中点，点P是线段上的动点，过BC且与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点的轨迹在以AF为直径的圆上,即可确定点到底面ABC距离的最大值,最后利用体积公式求解即可. 【详解】外接球的表面积为，可得外接球半径为. 因为正三棱柱的底面边长， 所以,所以的外接圆半径为， 设三棱柱的侧棱长为h，则有，即侧棱， 设BC的中点为F，作出截面如图所示， 因为，,所以，所以点E在以AF为直径的圆上， 当点E在的中点时，此时点到底面ABC距离的最大，且最大值为， 因为，所以此时点P在线段上，符合条件， 所以三棱锥的体积的最大值为． 故选：A． 二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.