第07讲 基本不等式-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 1．了解基本不等式代数和几何两方面的背景，了解几何平均数和代数平均数的概念； 2．理解基本不等式的代数证法和几何证法；严谨规范表达不等式证明过程； 3．熟练地掌握基本不等式及其不变形形式，并能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求某些函数的最大（小）值，证明简单的不等式； 4．会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题。 一、基本不等式的概念 1、两个不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 （2）基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 二、基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 三、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，,， 过点作交圆于点D，连接、. 易证，那么，即. 这个圆的半径为，它大于或等于，即， 其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立. 四、利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 考点一：对基本不等式的理解 例1．不等式中，等号成立的条件是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（多选）已知a，，且，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 考点二：利用基本不等式比较大小 例2．设（、为互不相等的正实数），，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】若，，，则，，2ab，中最大的一个是______． 考点三：利用基本不等式求和的最小值 例3．若，则的最值情况是（ ） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值2 【变式训练】若，且，求的最小值． 考点四：利用基本不等式求积的最大值 例4．已知，则当取最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】若，，且，则的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 考点五：利用基本不等式证明不等式 例5．已知，，且，求证：. 【变式训练】已知，，，求证：. 考点六：利用基本不等式解决实际问题 例6．用长度为20米的篱笆围成一矩形场地，则矩形的最大面积为__________． 【变式训练】如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm． （1）若，求x的取值范围； （2）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值． 1．不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ） A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y 2．下列不等式中等号可以取到的是（ ） A． B． C． D． 3．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ） A． B． C． D． 4．已知正实数，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件