第06讲 等式性质与不等式性质-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第06讲 等式性质与不等式性质 1．理解不等式的概念，能在具体问题中建立不等式关系； 2．掌握不等式的基本性质，能用不等式的基本性质解决一些简单问题。 一、等式的基本性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；（3）作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质。 考点一：利用不等式的性质判断命题的真假 例1．设、、为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 考点二：比较两个数（式）的大小 例2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式训练】比较大小： （1）和； （2）和，其中． 考点三：求代数式的取值范围 例3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知，，则的取值范围是______． 考点四：不等式的证明 例4．用综合法证明:如果，那么 【变式训练】（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 1．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．已知，，设，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则的范围是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，则下列结论正确的为（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选）对于实数，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 6．（多选）若，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，，则（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．ab的取值范围为 D．的取值范围为 8．已知，试比较与的大小. 9．（1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 10．（1）已知，，求证：． （2）比较与的大小． 1．下列说法中，错误的是（ ） A．若，则一定有 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．下列命题中，正确的是（ ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 4．（多选）下列命题为真命题的是（ ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 5．（多选）已知，，则下列正确的有（ ） A． B． C．