第五章 集训5 导数解答题专练-【师大金卷】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册课时基础检测卷（人教A版）

第五章 　 一元函数的导数及其应用 集训５　 导数解答题专练 一、利用导数证明不等式 １．已知f(x)＝xlnx,g(x)＝－x２＋ax－３． (１)对一切x∈ (０,＋∞),２f(x)≥g(x)恒 成立,求实数a的取值范围; (２)证明:对一切x∈ (０,＋∞),都有lnx＞ １ ex － ２ex 成立． ２．已知函数f(x)＝ex－２t－lnx＋２(t∈R)． (１)若x＝１是f(x)的极值点,求t的值,并讨 论f(x)的单调性; (２)证明:当t≤１时,f(x)＞２． ３．已知函数f(x)＝lnx,g(x)＝x－lnx－１． (１)求函数g(x)的单调区间; (２)若函数g(x)的图象与函数h(x)＝ax＋ b x (b＞０)的图象交于P(x１,y１),Q(x２,y２) 两点,其中x１ ＜x２,求证:f′( x１＋x２ ２ ) ＜ h′(x１＋x２２ ) ． 二、利用导数解决实际应用问题 ４．如图,四边形ABCD 是一块 边长为４km 的正方形地 域,地 域 内 有 一 条 河 流 MD,其 经 过 的 路 线 是 以 AB 中点M 为顶点且开口 向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不 计)．某公司准备投资建一个大型矩形游乐园 PQCN,试求游乐园的最大面积． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —５４— 双测领航卷􀅰数学 　 选择性必修第二册 ５．学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花 池．如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现 计划在池塘的中轴线OC 上设计一个观景台 D,其中AD,BD,CD 段建设架空木栈道,已 知AB ＝１００m,设建设的架空木栈道的总长 为ym． (１)设 ∠DAO＝θ(rad),将y表示成θ的函数 关系式,并写出θ的取值范围; (２)试确定观景台的位置,使三段木栈道的总 长度最短． ６．易拉罐用料最省问题的研究．小 明同学最近注意到一条新闻,易 拉罐(如图所示)作为饮品的容 器,每年的用量可达数万亿个．这 让他想到一个用料最优化的问 题,即在易拉罐的体积一定的情 况下,如何确定易拉罐的高和半径才能使得 用料最省?他研究发现易拉罐的上盖、下底和 侧壁的厚度是不同的,进而结合数学建模知 识进行了深入研究．以下是小明的研究过程, 请你补全缺失的部分． (１)模型假设: ① 易拉罐近似看成圆柱体; ② 上盖、下底、侧壁的厚度处处均匀; ③ 上盖、下底、侧壁所用金属相同; ④ 易拉罐接口处的所用材料忽略不计． (２)建立模型 记圆柱体积为V,高为h,底面半径为r,上盖、 下底和侧壁的厚度分别为d１,d２,d３, 金属用料总量为C． 由几何知识得到如下数量关系: V ＝πr２h① C＝πr２d１＋πr２d２＋２πrhd３② 由 ① 得h＝ V πr２ ,代入 ② 整理得: C＝π(d１＋d２)r２＋ ２Vd３ r ． 因为V,d１,d２,d３都是常数,不妨设a＝π(d１ ＋d２),b＝２Vd３, 则用料总量的函数简化为C＝ar２＋br． 请写出表格中代入整理这一步的目的是: 　 　． (３)求解模型: 所以,在r＝ (用a,b表示)时,C取 得最小值,即在此种情况下用料最省． (４)检验模型: 小明上网查阅到目前３３０毫升可乐易拉罐的数 据,得知d１ ＝０．０２８(cm),d２ ＝０．０２１(cm), d３ ＝０．０１１(cm),代入(３)的模型结果,经计 算得r≈２．８６８(cm)经验算,确认计算无误, 但是这与实际罐体半径３．３０５cm 差异较大． 实际上,在经济利益驱动之下,目前的罐体成 本应该已经达最优． (５)模型评价与改进: 模型计算结果与现实数据存在较大差异的原 因可能为: 　 　． 相应改进措施为: 　 　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋