第四章 集训5 数列解答题专练-【师大金卷】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册课时基础检测卷（人教A版）

第四章　数列 集训５　 数列解答题专练 一、等差数列与等比数列的综合问题 １．已知Sn 为等差数列{an}的前n项和．a５＝S３ ＝９． (１)求an; (２)设bn ＝ １ ３ æ è ç ö ø ÷ an,Tn 为数列{bn}的前n项 和,求证:Tn ＜ ３８． ２．已知数列{an}中,a１＝２５ ,an＋１＝ an an＋３ (n∈ N∗)． (１)求证:数列 １an ＋１２{ }是等比数列,并求数 列{an}的通项公式an; (２)若数列{bn}满足bn ＝log３ １ ２＋ １ an æ è ç ö ø ÷,且 对任意正整数n(n≥２),不等式∑ n k＝１ １ bk＋n ＞ m ６ 恒成立,求整数m 的最大值． ３．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a１ ＝ ２,S６ ＝２２． (１)求Sn; (２)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数 列{akn},其中k１＝１,且k１＜k２＜ 􀆺 ＜kn＜ 􀆺,kn ∈N∗． ① 当q取最小值时,求数列{kn}的通项公式; ② 若关于n(n∈N∗)的不等式６Sn ＞kn＋１＋ ２有解,求q的值． 二、数列与函数的综合问题 ４．设二次函数f(x)满足:(ⅰ)f(x)＞０的解集 为(０,１);(ⅱ)对任意x∈R都有－３x２－１≤ f(x)≤６x＋２成立．数列{an}满足:a１＝１３ , ０＜an ＜ １２ ,an＋１ ＝f(an)(n∈N∗)． (１)求f(－１)的值; (２)求f(x)的解析式; (３)求证: ２１－２a１ ＋ ２１－２a２ ＋ ２１－２a３ ＋􀆺＋ ２ １－２an －３n＋１ ≥－３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —１２— 双测领航卷􀅰数学　选择性必修第二册 ５．在平面直角坐标系xOy 中,过A１(１,０)作x 轴的垂线,与函数f(x)＝ １x＋１ 的图象交于 点B１,过点B１作函数f(x)的图象的切线,与 x轴交于A２,再过A２ 作x轴的垂线,与函数 f(x)的图象交于点B２,再过点B２ 作函数 f(x)的图象的切线,与x轴交于A３,􀆺􀆺,如 此进行下去,在x轴上得到一个点列A１,A２, A３,􀆺An􀆺,记A１,A２,A３,􀆺An􀆺 的横坐标 构成的数列为{an}． (１)求a２,a３,a４; (２)求数列{an}的通项公式． ６．对于函数f(x),若an＋１ ＝f(an)(n∈N∗), 则称f(x)为数列{an}的“本源函数”． (１)设数列{an}的“本源函数”为f(x)＝３x, 且a１ ＝１,a６ ＝m＋２,求实数m 的值; (２)已知数列{an}的“本源函数”为f(x)＝ ２x＋１,a１＝１,bn ＝－１＋２log２(１＋an)(n∈ N∗),在数列{bn}中删除数列{an}中的项后, 余下的项按原来顺序组成数列{cn},求c１＋c２ ＋􀆺＋c１００; (３)记[u]表示不超过实数u的最大整数．若 数列{an}的“本源函数”为f(x)＝x＋tx＋１ (t∈ R),且a１ ＝１,a２ ＝１２ ,Sn 为数列{an}的前n 项的和．证明:对满足０≤a＜b≤１的任意实 数a,b,数列{Sn－[Sn]}中有无穷多项属于 开区间(a,b)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —２２— 第四章　数列 三、数列与不等式的综合问题 ７．设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝２n－１, 数列bn ＝２nan． (１)求{an}和{bn}的通项公式;