第08讲 全等三角形的常见模型-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课（人教版）

第08讲 全等三角形的常见模型 【人教版】 ·模块一 “X”型 ·模块二 共顶点的三角形旋转（手拉手模型） ·模块三 一线三垂直型 ·模块四 中点型 ·模块五 课后作业 模块一 “X”型 【例1】如图，与相交于点O，且O是的中点，则与全等的理由是（　　） A． B． C． D． 【例2】如图，线段，相交于点，且，，，，求的长． 【例3】如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF． (1)求证：△BDE≌△CDF； (2)若AE=13，AF=7，试求DE的长． 【变式1】如图，点C是上一点，交于点F，，，求证：．    模块二 共顶点的三角形旋转（手拉手模型） 【例1】如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（　　） A．6 B．5 C．3 D．2 【例2】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°后得到CE，连接BE，若∠DAB＝10°，则∠ABE是(　　) A．75° B．78° C．80° D．92° 【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 【变式1】如图，已知是等边△内一点，是线段延长线上一点，且，=120°，那么_____． 【变式3】以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF，连结BE、CF. （1）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角. （2）试探索BE和CF有什么数量关系和位置关系？并说明理由. 模块三 一线三垂直型 【例1】如图，两座建筑物，相距160m，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（    ） A．100 B．80 C．60 D．50 【例2】如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【例3】如图，已知点O（0，0），P（1，2），将线段PO绕点P按顺时针方向以每秒90°的速度旋转，则第19秒时，点O的对应点坐标为（　　） A．（0，0） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（2，4） 【变式1】如图，点A，B，D在同一条直线上，且∠A=∠D=90°，AC=BD，∠ABC=∠DEB．连接CE，试判断△CBE的形状，并说明理由． 【变式2】如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 模块四 中点型 【例1】在△ABC中，AC=6，中线AD=10，则AB边的长可以是（   ） A．30 B．22 C．14 D．6 【例2】某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ABD≌△ECD”的推理过程． (1)求证：△ABD≌△ECD 证明：延长AD到点E，使DE＝AD 在△ABD和△ECD中 ∵AD＝ED（已作） ∠ADB＝∠EDC（ ） CD＝ （中点定义） ∴△ABD≌△ECD（ ） (2)由（1）的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是 ； (3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如下图，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长． 【例3】我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题： (1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形． (2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD； ②求证：AC＝2OP． 【变式1】如图，在ABC中，AC=