1.1.1空间向量及其线性运算（导学案） -【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算导学案 学习目标 1. 类比平面向量引入了空间向量及相关概念、空间向量的表示、共线向量与相等向量，、； 2. 类比平面向量的加减、数乘运算和运算律，引入空间向量的加减、数乘运算和运算律， 3. 类比平面向量研究空间向量的共线、共面问题. 4. 理解空间向量及相关概念，掌握空间向量的表示，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律等内容，并能借助图形理解空间向量线性运算及其运算律的意义. 重点难点 · 重点：通过类比平面向量的概念来归纳并理解空间向量的含义，发现空间向量也与平面向量满足线性运算(加法、减法和数乘），懂得运算律。 · 难点：空间向量的线性在简单空间几何体中的计算和应用。 课前预习 自主梳理 要点一 空间向量的有关概念 1.空间向量的定义 在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.空间向量的表示 空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 来表示. 3.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图. ＝＋＝ ； ＝－＝ ； ＝λa(λ∈R). (2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： 运算律(其中λ，μ∈R) (1)交换律：a＋b＝ ； (2)结合律：(a＋b)＋c＝ ，λ(μa)＝ ；　 (3)分配律：(λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ． 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 要点二　特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0 a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 要点三 共线向量及共线向量定理 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 ． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝ ，我们把与向量a 的非零向量称为直线l的 . 思考：由数乘λa＝0，能否得出λ＝0? 3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l. 4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平面α. 5．共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量． 6．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 ． 思考：若向量p，a，b满足p＝xa＋yb，那么向量p，a，b共面吗？ 提示 共面．当a与b共线时，显然向量p，a，b共面；当a与b不共线时，由向量共面的充要条件，可知向量p，a，b共面． 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)零向量没有方向. ( ) (2)两个有公共终点的向量, 一定是共线向量. ( ) (3)空间向量的数乘运算中,只决定向量的大小, 不决定向量的方向. ( ) (4) 若, 则. ( ) (5)若两个向量的起点重合, 则这两个向量的方向相同. ( ) 2.已知空间四边形, 连接, 则( ) A. B. C. D. 0 3.下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 新课导学 学习探究 （一）新知导入 环节一 创设情境引入课题 引导语 章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景． 可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力