2022—2023学年北师大版数学七年级下册全等三角形辅助线专题(中线、中点）　练习

北师版数学七下全等三角形辅助线专题(中线、中点）类 1．在ABC中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD． （1）如图1，若点E是AB的中点，∠ADB＝120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB，且GC＝GB，则∠DCG+∠EBG＝　30°　； （2）如图2，连接CE交BD于点F，若DA＝DB，且∠BFE＝∠BCD，求证：DA＝DC+2DF； 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【解答】（1）解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是AB的中垂线， ∴AD＝DB，AG＝GB， ∵∠ADB＝120°，AD＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝30°， ∵GC＝GB， ∴AG＝GB＝GC， ∴∠GAC＝∠GCD，∠GBE＝∠GAB， ∴∠DCG+∠EBG＝∠GAC+∠GAB＝∠DAB＝30°， 故答案为：30°； （2）如图，过点C作CN⊥AB于N，交BD于H，连接EH， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA， ∵∠BFE＝∠BCD＝∠CFD，∠CBD+∠DCB+∠CDF＝180°，∠CDF+∠CFD+∠DCF＝180°， ∴∠DCF＝∠DBC， ∴∠DCF+∠DAB＝∠DBC+∠DBA， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴CB＝CE， 又∵CN⊥AB， ∴EN＝NB， ∴CN是BE的中垂线， ∴EH＝BH， ∴∠HEB＝∠HBE， ∴∠HEB＝∠A， ∴EH∥AC， ∵DE⊥AB，CN⊥AB， ∴DE∥CN， ∴四边形CDEH是平行四边形， ∴CD＝EH＝BH， ∵CD∥EH， ∴∠CDF＝∠EHD，∠DCF＝∠FEH， ∴△DCF≌△HEF（ASA）， ∴DF＝FH， ∴AD＝DB＝DF+FH+BH＝2DF+DC； 2．如图，已知在△ABC和△ADE中，AB＝AC． （1）如图1，若∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，AD＝AE，AC＝4，CE＝3，连接CD，求线段CD的长； （2）如图2，若∠BAC＝∠DAB＝60°，AD＝AB，E、F分别为BC、AB边上的动点，CF与AE相交于点M，△BCF≌△CAE，连接DM，点N是DM的中点，证明：AM+CM＝2AN； 【解答】（1）解：如图1，连接BD， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，AB＝AC＝4， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝AC＝4，∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE， 又∵AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，BD＝CE＝3， ∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+45°＝90°， ∴CD＝＝＝， 即线段CD的长为； （2）证明：如图2，延长DA至Q，使AQ＝AD，延长ME至H，使MH＝MC，连接QM、QC、CH， ∵∠BAC＝∠DAB＝60°， ∴∠CAQ＝180°﹣∠BAC﹣∠DAB＝60°， ∵AD＝AB，AB＝AC， ∴AD＝AB＝AC＝AQ， ∴△ABC和△ACQ都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ACQ＝60°，CQ＝AC， ∵△BCF≌△CAE， ∴∠BCF＝∠CAE， ∴∠CMH＝∠CAE+∠ACM＝∠BCF+∠ACM＝∠ACB＝60°， ∴△MCH是等边三角形， ∴CM＝HM＝CH，∠MCH＝60°， ∴∠MCH+∠ACM＝∠ACQ+∠ACM， 即∠QCM＝∠ACH， ∴△QCM≌△ACH（SAS）， ∴QM＝AH， ∵点N是DM的中点，AD＝AQ， ∴AN是△DMQ的中位线， ∴QM＝2AN， ∴AH＝2AN， 即AM+HM＝2AN， ∴AM+CM＝2AN； 3．△ABC为等边三角形，D是边AC上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE． （1）如图1，延长CE交AB于点G，若∠DCG＝15°，BG＝2，求BC的长； （2）如图2，将△BEC绕点B逆时针旋转60°至△BFA，延长CB至点M使得BM＝DC，连接AM交BF于点N，求证：2FN+DE＝BE； 【解答】（1）解：如图1， 作CF⊥BC于F， ∴∠CFG＝∠BFG＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝90°， 在Rt△BFG中，BG＝2，∠ABC＝60°， ∴BF＝2cos60°＝2×＝1， FG＝2•sin60°＝2×＝， 在Rt△CFG中，FG＝，∠FCG＝∠ACB﹣∠ACG＝60°﹣1