第09讲 基本不等式-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第09讲 基本不等式 1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立).　 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．　 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识点一 基本不等式与重要不等式 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么(当且仅当a＝b时，等号成立). 3．两个重要不等式 当a，b∈R时，则 （1）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立)； （2）ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立). 不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 知识点二 基本不等式与最值 对于正数a，b，在运用基本不等式时，应注意： (1)和a＋b为定值时，积ab有最大值；积ab为定值时，和a＋b有最小值； (2)取等号的条件. 利用基本不等式求最值要牢记：“一正”“二定”“三相等” (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的结果； (2)“二定”，即含变量的各项的和或积必须是定值(常数).如果要求a＋b的最小值，那么ab必须是定值；要求ab的最大值，a＋b必须是定值； (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值． 知识点三 基本不等式的应用 1．基本不等式的变形 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． 常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． (2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． 2．应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类) (1)合理选择自变量，建立函数关系； (2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)； (3)解题注意点： ①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； ②根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值； ③在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解． 考点一：利用基本不等式证明不等式 例1 已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证： ≥8. 【总结】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； (2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用． 变式 (1)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥9. (2)已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥10. 考点二：利用基本不等式求最值 例2 (1)已知x>2，则x＋的最小值为________； (2)若0<x<，则x(1－2x)的最大值是________； (3)若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________． 【总结】 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配． (1)拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件； (2)并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值； (3)配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 变式 求下列函数的最值． (1)已知x＞1，求y＝4x＋1＋的最小值； (2)已知0＜x＜1，求x(4－3x)的最大值； (3)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋2b＝1, 求＋的最小值． 考点三：利用基本不等式求参数的取值范围 例3 (1)已知函数y＝x＋＋2的值构成的集合为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　　) A． B． C．1 D．2 (2)已知函数y＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，y≥3恒成立，则a的取值范围是____