数学03-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）03 数学·全解全析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知， ， ，  .故选：C. 2．已知复数是关于x的方程的一个解，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为复数是关于x的方程的一个解，则方程的另一解为， 由韦达定理可得，解得， 所以复数在复平面内对应的点为在第四象限.故选：D 3．在中，点为中点，点在上且.记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示：由，所以， 又，， 又因为为中点，， 则，故选：B. 4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）参考数据：． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉， 所以，即所以． 再继续过滤3小时， 废气中污染物的残留量约为．故选：A. 5．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则出现三个点数之和为6的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，随机掷一枚均匀的正方体骰子，每次实验掷三次， 共有种不同的结果， 其中每次实验掷三次骰子的点数之和为6的基本事件包括数字1、2、3组成的结果有种， 数字1、1、4组成的结果有种，数字2、2、2组成的结果有种. 故所求概率为.故选：B. 6．若，则（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由， 可得， 又由正弦的倍角公式，可得， 即， 令，则，解得， 所以.故选：C. 7．已知正四棱台的高为，下底面边长为，侧棱与底面所成的角为，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，连接， 过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为， 因为正四棱台的高为，下底面边长为， 侧棱与底面所成的角为， 可得，即， 设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为， 可得，，故或， 即或， 解得，符合题意， 所以球的体积为．故选：A. 8．设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则， ，，，故，在上单调递增， 故，当时，恒成立， 令，则，即； 设，，则， 又， 故 在上单调递减，， 故，则函数在上单调递增，即， 故当时，恒成立， 令，则，即， 综上所述：.故选：D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是（ ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 【答案】BC 【解析】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由，则，即， 则，故B正确； 对于C，因为，则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误.故选：BC. 10．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B．在上是减函数 C．为奇函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】ACD 【解析】因为为偶函数，所以， 所以，即， 因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以，所以， 所以，所以，即函数的一个周期为. 在中，令，得， 在中，令，得， 又，所以，故A正确； 因为在区间上是增函数，且的一个周期为， 所以在上单调递增，在上不为减函数.故B错误； 因为，所以， 所以， 从而为奇函数，故C正确； 因为为奇函数，所以的图象关于点对称， 因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 又当时，， 作出与的大致图象，如图所示. 其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点， 故方程仅有6个实数解，故D正确.故选：A