精品解析：上海师范大学附属外国语中学2023届高三热身数学试题

上海师范大学附属外国语中学高考数学热身考试卷 2023.05 一. 填空题 1. 已知集合，则_________． 2. 设是虚数单位，则___________________. 3. 函数的定义域为__________. 4. 已知，则的最大值为__________. 5. 设服从二项分布，则__________. 6. 若二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为_____． 7. 若等比数列的前n项和为，，则首项的取值范围是________． 8. 在棱长为2的正方体中，点在正方体的12条棱上（包括顶点）运动，则的取值范围是______． 9. 已知函数对称中心为，若函数的图象与函数的图象共有6个交点，分别为，，…，，则__________. 10. 已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是___________. 11. 设定义在R上的函数满足，且当时，.若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是___________. 12. 如图，椭圆的焦点在x轴上，长轴长为，离心率为，左、右焦点分别为，，若椭圆上第一象限的一个点A满足：直线与直线的交点为B，直线与x轴的交点为C，且射线为∠ABC的角平分线，则的面积为________. 二. 选择题 13. “”是“”的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（ ） A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的中位数大 C. 甲成绩方差比乙成绩的方差大 D. 甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小 15. 设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 已知数列的前项和满足，有结论： ① 若，则； ② 数列是常数列. 关于以上两个结论，正确判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三. 解答题 17. 已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知向量，其中，若函数最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在中，若，求的值. 19. 某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 （1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； （2）在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； （3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 20. 已知双曲线焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线的方程； （2）若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围； （3）设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值. 21. 已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属外国语中学高考数学热身考试卷 2023.05 一. 填空题 1. 已知集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 2. 设是虚数单位，则___________________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据虚数单位的性质可求代数式的值. 【详解】， 故答案为：1. 3. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义列出不等式，求解不等式作答. 【详解】函数中，，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 4. 已