专题04 一次函数综合题动点问题-【暑期培优】2023年暑假八升九（新九年级）数学培优计划（人教版）

2023年八升九数学暑假培优计划 专题04 一次函数综合题动点问题 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于、两点，已知点坐标，点在直线上，横坐标为3，点是轴正半轴上的一个动点，连接，以为直角边在右侧构造一个等腰，且． (1)求直线的解析式以及C点坐标； (2)设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标； (3)如图2，连接，，请直接写出使得周长最小时，点E的坐标． 【答案】(1)，C（3，4） (2) (3) 【分析】（1）把代入中，得，解得：，即可求解； （2）证明，则，，，则； （3）过点作直线的对称点，连接交直线于点，则点为所求点，即可求解． 【详解】（1）把代入中， 得，解得：， ， 把代入，得， ； （2）作轴于点，轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ，且， ，， ， ； （3）点， 设，， 则， 故点在直线上， 设：直线交轴于点， 过点作直线的对称点， 直线的倾斜角为，则轴，则点， 连接交直线于点，则点为所求点， 是常数， 周长为最小， 由点、的坐标得，直线的表达式为： 联立， 解得：， 故：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大． 2．如图，将边长为正方形置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为、顶点的坐标为，与轴交于点，一次函数的图象交于点，连接并延长交轴于点． (1)求点的坐标． (2)连接，求证：是直角三角形． (3)有一动点以的速度从点出发，沿着方向运动，设运动时间为，当为何值时，是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或4或或或 【分析】（1）直接将代入求值即可； （2）先根据正方形的性质得到、、、、、的坐标，再用勾股定理判断即可； （3）根据等腰三角形的性质分情况列方程求解即可． 【详解】（1）是边长为的正方形的顶点， 当时，，故点； （2）四方形是正方形， 点、、、、、的坐标分别为：、、、、， 则，，，故， 故：是直角三角形； （3）点的坐标分别为： ①当点在上时，此时， 点，则，，， 当时，，解得：； 当时，同理可得：（不合题意，舍去）； 当时，同理可得：，（不合题意，舍去） ②当点在上时，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令，则，即点，则； ，，； 当时，，解得：； 当时，同理可得：； 当时，同理可得： 综上所述：或或4或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数值，正方形的性质，等边三角形的性质，解一元一次方程和解一元二次方程，注意第三问情况较多，不要漏落． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且． ①求点E的坐标； ②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为或 【分析】（1）根据两条直线的关系式求出交点坐标即可； （2）①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案； ②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：①设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； ②当时， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴点P与点O重合，点B与点M重合， ∴点M坐标为； 当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示： 设点M的坐标为，则， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， 即， 把代入得： ， 解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示： 则四边形是矩形， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点P的纵坐标为，横坐标为， 即， 把点代入得： ， 解得：， 符合题意， ∴， ∴点M的坐标为：； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论． 4．如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． (1)C点坐标为_______； (2)如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B，O重合），连接，以为直角边作等腰直角，，连接交x轴于G，求证：G是的中点； (3)如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析