第13讲 解直角三角形的应用-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第13讲 解直角三角形的应用 理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 模块一：仰角与俯角 1、 仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 仰角 视线 水平线 视线 俯角 铅垂线 【例1】 如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角 为，则较低建筑物CD的高为（ ） A．a米 B．（）米 C．米 D．米 A B C D E 【例2】 如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的 仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号） A B C D 【例3】 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？ （结果精确到0.1m）A B C D 模块二：方向角 1、 方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°． 北 北偏东30° 南偏西45° 北偏西70° 南偏东50° 30° 70° 45° 50° 【例4】 如果由点A测得点B在北偏东15°的方向，则由B测点A的方向为（ ） A．北偏东15° B．北偏西75° C．南偏西15° D．南偏东75° 【例5】 如图，小明从A地沿北偏东30°方向走米到B地，再从B地向正南方向 走A B C 东 南 西 北 D 200米到C地，此时小明离A地_____米． 【例6】 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏 60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围 16海里内有暗礁．东 北 A B C D （1）试说明点B是否在暗礁区域外？ （2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【例7】 如图，AC是某市环城路的一段，AE、BF、CD都是南北方向的街道，其与环 城 路AC的交叉路口分别是A、B、C．经测量，花卉世界D位于点A的北偏东45°方向、点B的北偏东30°方向上，AB = 2千米，． （1）求B、D之间的距离；A B C D E F 环 城 路 和平路 文化路 中山路 G （2）求C、D之间的距离． 模块三：坡度（坡比） 1、 坡度（坡比）、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度． 如图，坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即． 坡度通常写成1 : m的形式，如． h l 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作． 坡度i与坡角之间的关系：． 【例8】 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2米，则两树间的坡面距离 AB为（ ） A．4米 B．米 C．米 D．米A B C 【例9】 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米， 槽A B C D 的深度为12毫米，的正切值为，则它的里口宽BC = ______． 【例10】 如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶A处的同一水平面 上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：A B C P Q D E （1）坡顶A到地面PQ的距离； （2）古塔BC的高度．（结果精确到1米） （参考数据：，，） 【例11】 如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF上，楼房旁边不远处有一棵笔直而 垂直于水平地面BE的大树HD．小智想要测量这棵大树HD的高度．在下午的某个时刻，他观察到这棵大树树梢H的影子落在楼房的外墙面上的点G处．同时，他又观察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE的木柱AB，它在水平地面BE上的影子BC也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米， DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD的高． A B C D E F G H M N 一、单选题 1. （2022·上海·九年级专题练习）如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 2. （2023·上海虹口·统考一模）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3. （2023·上海杨浦·统考一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它