专题1.1 菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.1 菱形的性质与判定（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 构成条件：（1）是平行四边形；（2）有一组邻边相等。两个条件必须同时具备。 【例1】如图，为的对角线，点E、F分别在边上，，连接交AC于点G．若，求证．四边形是菱形．    【分析】根据和得到，然后结合平行四边形的性质得到，进而证明出四边形是菱形． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式】如图，在四边形中，，．过点分别作于点，于点，且．求证：四边形是菱形．    【分析】根据，，得出四边形是平行四边形，进而证明得出，即可证明四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 【知识点2】菱形的性质 性质定理1：菱形的四条边相等； 性质定理2：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分每组对角； 性质定理3.菱形是轴对称图形，又是中心对称图形，对角线所在直线为其对称轴，对角线交点为其对称中心。 【例2】如图，菱形的对角线相交于点O，垂直平分，垂足为点E，求的大小． 【答案】120° 【分析】根据DE垂直平分BC，可得，根据菱形的性质可得，即为等边三角形，则，则问题得解． 解：在菱形ABCD中，有，且， ∵DE垂直平分BC， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即∠ABC的度数为120°． 【点拨】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行的性质等知识，证明是等边三角形是解答本题的关键． 【变式】菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，交y轴于点D，连接，交于点E．已知点，，求点B的坐标．    【答案】 【分析】先求出，再由菱形的性质得到，进而得到，求出，进而求出，由此即可得到答案． 解：∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【知识点3】菱形的判定 判定1：定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形； 判定2：四条边都相等的四边形是菱形； 判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 【例3】如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由题意可先判断四边形是平行四边形，结合平行线的定义和角平分线的定义推出，即可得到，从而证得结论； （2）根据菱形的基本性质以及勾股定理首先求出，然后利用菱形的面积可由对角线乘积的一半来表示，利用等面积法求出结论即可． 解：（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【点拨】本题考查菱形的判定以及性质，掌握菱形的判定方法，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半，是解题关键． 【变式1】如图，在中，，点O是上的中点，将绕着点O旋转得 (1) 求证：四边形是菱形； (2) 如果，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，即可求证； （2）过点A作于点E，先证明是等边三角形，可得，，再由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算，即可求解． 解：（1）证明：∵将绕着点O旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式2】平行四边形ABCD中，E、F是BC、AB的中点，DE、DF分别交AB、CB的延长线于H、G； （1）求证：BH =AB； （2）若四边形ABCD为菱形，试判断∠G与∠H的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）通过证明DC=AB，△CDE≌△BHE ，BH=DC所以BH="AB" （2）∠H=∠G 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴DC=AB，DC∥AB ， ∴∠C=∠EBH，∠CDE=∠H 又∵E是CB的中点， ∴CE="BE" ∴△CDE≌△BHE ， ∴BH=DC ∴BH=AB （2） ∵四边形A