2023年上海市中考数学初三压轴题：二次函数中相似三角形的存在性问题

初三压轴题第一讲：二次函数中的相似三角形存在性问题 答案E y A D B C O x （2021崇明二模24）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线经过点A和点B，且其顶点为D． （1）求抛物线的表达式； （2）求的正切值； （3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点， 点E为抛物线的对称轴与直线的交点， 点P是直线上的动点， 如果与△AED是相似三角形，求点P的坐标． （1）∵直线分别交轴、轴于A、B两点 ∴A（3，0）、B（0，-3）∵抛物线经过A（3，0）、B（0，-3） ∴解得 ∴抛物线的解析式为 (2) ∵∴D（1，-4）又∵A（3，0）、B（0，-3）∴ 、、∴∴ ∴tan∠BAD= （3）∵tan∠EDA=、 tan∠BAD=∴∠EDA≠45°，∠BAD≠45°∵∠CAB=45° ∴点P只能在轴的上方，当点P只能在轴的上方时，显然∠AED=∠PAC=135° 若△PAC与△AED是相似三角形，则或 ①当时，，，P（7，4） ②当时，，，P（5，2） 综上所述：点P的坐标为P（7，4）或P（5，2） （2022青浦一模24）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线于x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D. （1） 求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2） 联结BC、BD，求∠CBD的正切值； （3） 若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标. （1） 将(-1,0)和点B(3,0)代入，可得，则C(0,-3). （2） 由D(1,-4)，得，， ，即，即∠BCD=90， 即tan∠CBD. （3） 由题意，tan∠ACO，∠OCB=∠OBC=45°，即∠ACB=∠ABD， 由△BDP与△ABC相似，得或，设P(x，0），则BP=3-x， ，，，即1° ，得； 2° ，得； 即 （2022嘉定一模24）在平面直角坐标系xOy中，点A、B两点在直线上，二次函数的图像也经过点A、B两点，并与y轴交于点C，如果BC//x轴，点A的横坐标为2. （1） 求这个二次函数的解析式； （2） 设这个二次函数图像的对称轴与BC交于点D，点E在x轴的负半轴上，如果以点E、O、B组成的三角形与△OBD相似，且相似比不为1，求点E的坐标； （3） 设这个二次函数的顶点为M，求tan∠AMC的值. （1）由题意得A(2,1)，C(0,-2)，由BC//x轴，则B(-4,-2)，将A、B两点代入，可得； （2）由题意，抛物线的对称轴为直线x=-2，则D(-2,-2)，如图，∵BC//x轴， 即∠EOB=∠OBD，由△EOB与△OBD相似， 且形似比不为1，则只有， 即，得EO=10， 即E(-10,0)； （3）顶点M(-2,-3)，直线AM：y=x-1， 即E(1,0)，F(0,-1)，得∠OEF=∠OFE=45°， 即∠MFC=90°，过点C作CN⊥AM， 得CN=NF=，MF=，即MN=， 得. （2022崇明一模24）如图，抛物线于x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B(0,3)，点M(m,0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P、N. （1） 求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点坐标； （2） 如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值； （3） 如果以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标. （1） 将A(4,0)与B(0,3)代入，可得， ，则抛物线的对称轴为直线， 顶点. （2） 如图，直线AB：， 则，， ∵BO//NP，则只能BOPN为平行四边形， 此时BO=NP，即3=， 即，即m=2. （3） ∠BPN=∠APM，且∠AMP=90°，以B、P、N为顶点的三角形与△APM相似， 1°∠BNP=∠AMP=90°，此时BN//x轴，则B、N关于直线对称，即M(3,0)； 2°∠NBP=90°，解法1：，则，由勾股定理得，即，由∠A=∠BNP，可得，，即，而MN=，得. 解法2：过点N作CN⊥y轴，即△CBN∽△AOB（一线三直角模型） 即tanA=tan∠CBN，即，得.1° 一线三直角 锐角三角比 2° 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三压轴题第一讲：二次函数中的相似三角形存在性问题 1、 知识梳理 ①已知三角形特征： ②未知三角形特征： ③首选判定方法： 2、 例题讲解 题型1：已知一组等角 在平面直角坐标系中，O为原点，A(-2,0)，B(2,2)，P为线段OA中点，在线段AB上是 否存在一点D，使△AOB与△ADP相似？ 题型2：已知三角形和目标三角形有一组等角（三角比） 在平面直角坐