2023年上海市中考数学初三压轴题：二次函数中的四边形存在性问题

初三压轴题第二讲：二次函数中的四边形存在性问题 答案 平行四边形存在性： （2020崇明二模24题改编）已知抛物线经过点,，与y轴交于点C，点D（2，-6）．如果点E是x轴上一点，点F是抛物线上一点，当以点A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标． 1 ； 2 ； 3 ； 点E的坐标为或或或 （2018杨浦二模24题改编）如图，在平面直角坐标系xOy，抛物线于x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点. 当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标. 设平行四边形的第四个顶点为Q， 由题意得A(-4,0)，则PQ=AO=4， 且P、Q关于x=-1对称，则 菱形的存在性：以定线段为边进行分类讨论，即以定线段为边或以定线段为对角线。1°利用菱形的对角线互相平分或对边平行且相等。 2°先等腰再平四或先平四再等腰。 （2018浦东二模24题改编）已知平面直角坐标系xOy，二次函数的图像经过A(-2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C. 点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图像的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标. 由题意可知，直线BC:y=-x+4，点P在直线x=1上运动， 1°如左图，当以MC为边时，由MC//NP，可得N(1,3)，得， 由MCNP为菱形，且点M在点C上方，得； 2°如右图，当以MC为对角线时，可知N、P关于y轴对称，此时N(-1,5)， 即，即MC=2，得 矩形的存在性：以定线段为边进行分类讨论，即以定线段为边或以定线段为对角线。1°利用矩形的对角线互相平分或Rt角中的勾股定理。 2°先Rt再平四或先平四再Rt。 (2018青浦二模24题改编）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线的图像与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，顶点C在直线x=2上，将抛物线沿射线AC的方向平移，当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处. 已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标. 如图1，由题意得，C(2,-1)，直线AC：y=x-3，则D(0,-3)，由BE//CD，BE=CD， 得BEDC为平行四边形，由B、D关于O对称，则C、E关于O对称，即E(2,-1), 设F(a,0)，如图2，当以EC为边时， 1°，∠FEC=90°，则EF2+EO2=FO2， 即，得，即， 2°，当∠ECF=90°，根据对称性，可得 如图3，当以EC为对角线时，由OC=OF，可得 图1 图2 图3 ( A D C B E O x y F )（2020徐汇初三二模24题）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，矩形的顶点在第一象限的反比例函数图像上，过点作．垂足为，设． （1）求的正切值； （2）求点的坐标（用含的式子表示）； （3）已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点，联结，如果轴，求的值． 解：（1）由题意，得，；∴，；在中，，∴． ( A D C B E O x y F )（2）∵四边形是矩形，∴； ∵，∴； 又，； ∴；∴； 又，∴； ∴． ( A D C B E O x y F )（3）设轴，垂足为，与轴的交点为． 又轴，∴；∴，； ∵四边形是矩形，∴，； ∴；∴；H 又， ∴≌；∴； ∴；∴；∴； ∵点、在反比例函数图像上，∴； 解得或（不合题意，舍去）；∴． 等腰梯形存在性：平行（斜率相等）+等腰（距离公式） (2018静安二模24题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知点B(8,0)和点C(9,-3)，抛物线(是常数，）经过点B、C，且与x轴的另一交点为A. 如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且AD//BC，求点D的坐标. 由题意得，A、B关于直线x=4对称，则A（0,0）， 直线BC：，由AD//BC， 得直线AD：，由AB=CD=8， 设，， 解得. (2019崇明二模24题改编）如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点．A B C O y x 将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N． 当四边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标． 连接NA并延长交OC于G ∵四边形ACMN为等腰梯形，且AC∥MN， ∴∠ANM＝∠CMN，∠ANM＝∠GAC，∠GCA＝∠CMN，∴∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GCA B C O y x M N G 设GA＝x，则GC＝x，OG＝3－x， 在Rt△OGA中，OA 2＋OG 2＝AG 2， ∴1 2＋( 3－x )2＝x 2，解得x＝ ，∴OG＝3－x＝ ，∴G（0，） 易得直线AG的解