2023年上海市中考数学初三压轴题：二次函数中的角相等问题

初三压轴题第三讲：二次函数中的角相等问题 答案 （改编自2019年虹口一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+4x与x轴交于原点O和B(4,0)，点A(3,3)在抛物线上，若点D在抛物线对称轴上，如果∠BAD=45°，求点D的坐标. 解：延长AD交x轴于点E，由A(3,3)，得∠AOB=45°， 由∠AOB=∠DAB=45°，∠ABO=∠ABO， 此时△ABE∽△AOB，得AB2=BE∙BO，其中AB2=10,BO=4, 得到BE=2.5，即E(1.5,0),则直线AE的解析式为：y=2x-3, 得D(2,1). （2019杨浦初三一模改编题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—x2+2x+3与x轴正半轴交于A，与y轴交于B，P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB=45°，求点P坐标. 解：由AO=BO，得∠DAO=45°，则∠ADM=45°， ∠APB=45°，∠BPD+∠DPA=45°，∠DPA+∠PAD=45°， 得∠BPD=∠PAD，∠PBD=∠PBA，即△PBD∽△PBA， 即BP2=BD•BA==6，得BP=. 设P(1，m)，则（0-1）2+（3-m)2=6，化简后舍去负值，得，即 (2021青浦二模24题）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO +∠PEO）＝时，求OE的长． 解：（1）∵抛物线经过点A（－1，0），对称轴是直线x＝1， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． 把x＝1代入抛物线的解析式，得y＝4． ∴D（1，4）． （2）∵点P为抛物线第三象限上的点，且四边形PBDC为梯形， ∴CD∥BP．直线CD：y=x+3，则直线BP：y=-x+3. 设P(x，-x+3)代入抛物线得：． 解得，或．（舍）∴P（－2，－5） （3）∵P（－2，－5） ∴在Rt△PHO中，． ∵，∴． ∵，因此，所以点E在点B的右侧． 又∵，∴． ∵，∴△OPB∽△OEP． ∴，∴，∴． （2021杨浦二模24题）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过A、B两点．5 -5 O x y 1 2 3 4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -4 （1）求这条抛物线的表达式； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，点P是抛物线上一点，点Q是直线AB上一点，当四边形BCPQ是平行四边形时，求点Q的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，联结QC，在∠QCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于点D，使得∠QCD=∠ABC，求线段DQ的长． 解：（1）令，∴，∴点A（5，0）. 令，∴，∴点B.∵抛物线过点A（5，0）、B（0，5）， ∴ ∴∴. （2）令y=0, ，∴. ∴C（1，0）. ∵点P在抛物线上， ∴设点P. ∵当四边形BCPQ是平行四边形时， PQ//CB且PQ=CB.∴. ∵点Q在直线上， ∴. ∴.∴P（4，3）. ∴Q（3，2）. 解法2：∵当四边形BCPQ是平行四边形时，BQ//CP， 直线CP：，设P(x，x-1)，代入抛物线得：，得x=1（与C重合）， x=4，即P(4,3)，直线BC:y=5x-5，直线PQ:y=5x-17,与直线AB联立得，Q（3，2）. （3） 设对称轴与x轴相交于点E. ∵C（1，0）、，∴CE=2， QE=2.∴CE=QE. ∴.∵点A（5，0）、B（0，5）， ∴OA=5， OB=5.∴OA=OB.∴. ∴∠CQE=∠OBA.∵∠QCD=∠ABC， ∴∠CDE=∠OBC. ∴tan∠CDE=tan∠OBC. 又∵tan∠OBC=，∴tan∠CDE=. ∵CE=2，∴DE=10. ∴. （2021长宁二模24题）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、，且与轴交于点．B C A x y O （1）求抛物线的表达式； （2）如果将抛物线向左平移个单位长度，联结、， 当抛物线与的△ABC三边有且只有一个公共点时，求的值； （3）如果点是抛物线上一动点，且在点的右侧，联结， 直线交轴于点，当时，求点的坐标． （1）把、代入， 得 ，解得 ．