24.2.2.3 切线长定理和三角形的内接圆 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

24.2.2.3　切线长定理和三角形的内接圆 1.掌握切线长的定义及切线长定理. 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. 3.认识三角形的内切圆及其有关概念，会作一个三角形的内切圆，掌握内心的性质. 学 习 目 标 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B 新 课 导 入 1.猜想：图中的线段PA与PB有什么关系？ 2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ O. P A B 新 课 导 入 如图，过圆外一点P有两条直线PA,PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 注 意： 切线是直线，不可度量； 切线长是切线上切点与切点外另一点之间的线段的长，可以度量. P O A B 合 作 探 究 探 究 如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与 ∠BPO有什么关系？你能证明吗？ P O A B 合 作 探 究 P O A B 证明：如图，连接OA和OB. ∵PA和PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又OA=OB,OP=OP. ∴Rt△AOP ≌ Rt△BOP. ∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 合 作 探 究 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 特别提醒 经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条，过切点的半径垂直于这条切线；经过圆外一点作圆的切线，有两条，这点和两个切点所连的两条线段相等. 合 作 探 究 若连接两切点 A，B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出什么新的结论? 请给出证明. 解：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. ∴ △PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. M O P A B 合 作 探 究 如图是切线长定理的一个基本图形, 可以直接得到结论： (1)PO ⊥ AB； (2)AO ⊥ AP，BO ⊥ BP； (3)AP=BP； (4)∠ 1= ∠ 2= ∠ 3= ∠ 4； (5)AD=BD. 合 作 探 究 例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别相切于点 E，F，G，H. 求证：AB + CD = AD + BC. 证明：∵ AB，BC，CD，DA 与 ⊙O 分别 相切于点 E，F，G，H， · A B C D O E F G H ∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG = DH. ∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH， ∴ AB + CD = AD + BC. 典 例 精 析 思 考 如图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 假设符合条件的圆已作出，那么这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径. 如何找到这个圆心呢？ 合 作 探 究 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. M N D 作法： 1.作∠ABC 和∠ACB的平分线BM 和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC，垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. A B C O 合 作 探 究 1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. 归 纳 要点解读 1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形. 2.三角形的内心在三角形的内部. 合 作 探 究 三角形内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点. 三角形的内心到三角形三边的距离相等. 合 作 探 究 例2 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， 且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 解：设AF=x，则AE=x.CD=CE=AC－AE=13－x, BD=BF=AB－AF=9－x. 由BD+CD=BC,可得(13－x)+(9－x)=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 典 例 精 析 归 纳 求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件. 典 例 精 析 1.下列说法正确的是(　　) A．过任意一点总可以作圆