24.2.2.2 切线的判定和性质 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

24.2.2.2　切线的判定和性质 1. 能判定一条直线是否是圆的切线，能过圆上一点作圆的切线. 2. 理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3. 能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 学 习 目 标 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时飞出的火星，都是沿着什么方向飞出的？ 都是沿圆的切线方向飞出的. 新 课 导 入 思 考 如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关系？ l O A 可以看出，圆心 O 到直线 l 的距离就是⊙O 的半径，直线 l 就是⊙O的切线. 合 作 探 究 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 归 纳 切线必须同时具备两个条件： 1.直线过半径的外端; 2.直线垂直于这条半径. 特 别 提 醒 合 作 探 究 思 考 已知⊙O上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作⊙O的切线？ A B 观察： (1)圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系？ O 相等. 垂直. 合 作 探 究 结合切线定义，判断一条直线是一个圆的切线有几种方法？ 思 考 3.判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； 2.数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 合 作 探 究 O B C 分析：由于 AB 过 ⊙O 上的点 C，所以连接 OC，证明 AB⊥OC 即可. A 证明：如图，连接 OC . ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线. 例1 已知：直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB． 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线． 典 例 精 析 当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线. 方 法 总 结 典 例 精 析 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． B C D A E 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又 AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 典 例 精 析 当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线. 方 法 总 结 典 例 精 析 (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法 典 例 精 析 如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线， 切点为A ，那么半径 OA 与 l 垂直吗？ A l O 思 考 半径 OA 与 l要么垂直，要么不垂直， 可以用反证法证明. 合 作 探 究 M 假设 OA 与 l 不垂直，过点 O 作一条直径垂直于 l，垂足为 M. 则 OM<OA，即圆心到直线l的距离小于 ⊙O 的半径，因此，l 与 ⊙O 相交. 这与已知条件“直线与 ⊙O 相切”相矛盾. 所以 OA 与l垂直. A l O 合 作 探 究 圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的性质定理 归 纳 切线的判定定理与性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得其他的结论时使用.它们是一个互逆的过程，不要混淆. 合 作 探 究 例2 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与 ⊙O相切于点 D. 求证：AC 是 ⊙O 的切线. B O C D A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OE 是 ⊙O 的半径就可以了. 而 OD 是 ⊙O 的半径，因此需要证明 OE = OD. 典 例 精 析 证明：如图，连接 OD，OA，过点O 作 OE⊥AC 于 E. ∵⊙O 与 AB 相切于 D，∴OD⊥AB. 又△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点， ∴AO 平分∠BAC. ∴OD = OE，即OE是⊙O 的半径. 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E， 并且垂直于半径OE， ∴AC 与 ⊙O 相切． E B O C D A 典 例 精 析 (1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； (2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的重要结论 典 例 精