24.1.4.2 圆内接四边形 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

24.1.4.2　圆内接四边形 1.掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念. 2.掌握圆内接四边形的性质：对角互补. 学 习 目 标 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， D C B A O ∴∠ACB =∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 合 作 探 究 ∴ AD = BD. ∴∠AOD =∠BOD. ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD =∠BCD. 在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， D C B A O 合 作 探 究 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解. D C B A O 思考：四边形ADBC是什么四边形？ 合 作 探 究 圆内接四边形 如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 合 作 探 究 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为： ∠A+ ∠C=180º， ∠B+ ∠D=180º. 思考 圆内接四边形的四个角之间有什么关系？ 你能证明猜想吗？ 合 作 探 究 α β ∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α， 证明：连接OB，OD． ∴ 同理 ∴ 又 合 作 探 究 圆内接四边形的对角互补. 归纳 每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 特别提醒 合 作 探 究 例 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又 AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，∴ AB 垂直平分 CD. ∴ AC＝AD. ∴∠ADC＝∠ACD. ∴∠FGD＝∠ADC. 典 例 精 析 1. 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A = 110°， ∠B = 80°，则∠C = ° ，∠D = °. 2. ⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，则∠D = °. 70 100 90 随 堂 练 习 3. 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°， 那么∠BCD = (　 ) A．120° B．100° C．80° D．60° A 随 堂 练 习 4.如图， 四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB是直径， DC = CB，若∠ C=110 °， 则∠ABC的度数等于( ) 55° B. 60° C. 65° D. 70° A 随 堂 练 习 5.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 解题秘方：将所求的角的度数转化为求圆内接四边形对角的度数. 随 堂 练 习 解析：∵∠ BAD 与∠ BOD 是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴∠ BAD= ∠ BOD= ×100°=50°. 又四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ BCD+ ∠ BAD ＝ 180°. ∴∠ BCD＝180°－∠ BAD ＝ 180°－50°＝ 130°. 5.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( ) A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° D 随 堂 练 习 圆内接多边形 圆内接四边形 性质 对角 互补 课 堂 总 结 $