24.1.2 垂直于弦的直径 课件 2022--2023学年人教版九年级数学上册

24.1.2　垂直于弦的直径 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形． 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题． 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题． 学 习 目 标 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 通过探究可以发现，圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 探 究 合 作 探 究 易 错 提 醒 因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 合 作 探 究 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 分析：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上. 合 作 探 究 证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径， A为⊙O上点C,D以外的任意一点. 过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M， 连接OA，OA′. O A＇ D M A · C 合 作 探 究 在△OAA′中，∵OA=OA′,∴△OAA′是等腰三角形. 又AA′⊥CD，∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A， 在圆上都有关于直线CD的对称点A′， 因此 ⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. O A＇ D M A · C 合 作 探 究 从以上证明可知，如果 ⊙O的直径CD垂直于弦AA′，垂足为M,那么点A和点A′是对称点. 把圆沿着直径CD折叠时，点A和点A′重合，AM与A′M重合，弧AC,弧AD分别与弧A′C，弧A′D重合. 因此，AM=A′M，弧AC=弧A′C,弧AD=弧A′D. 即直径CD平分弦AA′,并且平分弧AA′，弧ACA′. · O D M A A＇ C 合 作 探 究 这样，我们就得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 合 作 探 究 特别提醒 1. “垂直于弦的直径”中的“直径”，其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可. 2. “两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 合 作 探 究 例1 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形. 典 例 精 析 解：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为 O，半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC，D 为垂足，OC 与弧 AB 相交于点C，连接OA. 根据垂径定理，D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD 就是拱高. 典 例 精 析 由题设可知AB=37，CD=7.23， 所以 AD= AB= ×37=18.5，OD=OC－CD=R－7.23. 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 即R2=18.52＋(R－7.23)2.解得R≈27.3. 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 典 例 精 析 分析：构造垂径定理的基本图形解题. 把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里是解题的关键. 例2 如图，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 典 例 精 析 例2 如图，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：连接OD，如图. ∵ CD⊥AB，CD=2 ，∴ CH=DH= . 在Rt △BHD中，由勾股定理，得BH=1. 设⊙O的半径为r，在Rt △OHD 中，OH2＋HD2=OD2， 即(r－1)2＋( )2=r2. 解得r= .∴ AB=3. B 典 例 精 析 1.下列说法中不正确的是(　　) A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．圆的对称轴有无数条 D．当圆绕它的圆心旋转60°时，仍会与原来的圆重合 B 随 堂 练 习 2.如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm． 16 · O A B